Post by Alex PritzlIch bin kein Student, deswegen kenne ich das "Rezept" aus der Vorlesung
nicht.
Mit "Rezept" dürfte aber allgemein die Anwendung von Lagrange I bzw.
II gemeint sein und nicht das Aufstellen von Zwangsbedingungen
Es gibt nur eine unabhängige Koordinate, und die lautet phi, richtig?
Aber wie stelle ich da die ZB auf?
Gruß
Alex
Lagrange Funktion:
L = T - V
T = m/2*[r_punkt^2 + r^2*phi_punkt^2 +z_punkt^2]
V = m*g*z
L = m/2*[r_punkt^2 + r^2*phi_punkt^2 +z_punkt^2] - m*g*z
Vorbereitung der Gleichungen für die Berechnung der Lagrange
Multiplikatoren:
d/dt[@L/@r_punkt] = m*r_zweipunkt
d/dt[@L/@phi_punkt] = m*r^2*phi_zweipunkt
d/dt[@L/@z_punkt] = m*z_zweipunkt
@L/@r = m*r*phi_punkt^2
@L/@phi = 0
@L/@z = -m*g
Die Zwangsbedingungen ergeben sich aus der Geometrie der Schraubenlinie.
Zwangsbedingungen:
1. Die Koordinate r hat immer den Wert R:
r=R bzw.
Zr = r - R = 0
2. Die Schraubenlinie besitzt eine bestimmte Steigung:
phi=z/b bzw.
Zphi = z - phi*b = 0
Zwangskräfte:
Aus den Zwangsbedingungen lassen sich Ansätze für die Zwangskräfte
Entwickeln.
@Zr/@r = 1
@Zphi/@phi = -b
@Zphi/@z = 1
Zr = Lr
Zphi = -Lphi*b
Zz = Lz
(Lr,Lphi,Lz) sind die Lagrange Multiplikatoren
Aufstellen der Bestimmungsgleichungen für (Lr,Lphi,Lz):
m*r_zweipunkt - m*r*phi_punkt^2 = Lr = Zr
m*r^2*phi_zweipunkt + = -Lphi*b = Zphi
m*z_zweipunkt + m*g = Lz = Zz
Somit sind die Zwangskräfte (Zr,Zphi,Zz) mit Hilfe der Nebenbedingungen
bestimmt. Unter Berücksichtung das z=b*phi und r - R = 0 folgt sofort
-m*R*phi_punkt^2 = Lr
m*R^2*phi_zweipunkt = -Lphi*b
m*b*phi_zweipunkt + m*g = Lz
Hieraus mit Lphi = Lz
m*R^2*phi_zweipunkt/b = m*b*phi_zweipunkt + m*g
R^2*phi_zweipunkt = b^2*phi_zweipunkt + g*b
phi_zweipunkt*(R^2 - b^2) = g*b
phi_zweipunkt = g*b/(R^2 - b^2) Diese Gleichung integrieren mit phi(0)=0
usw.
MFG Stefan