Post by Ralf KusmierzX-No-Archive: Yes
Post by Hendrik van HeesEin Druck ist in der Tat i.a. kein Skalar, sondern die
Diagonalkomponenten
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der Mittelwert der
Oder auch kurz die Spur (geteilt durch 3) - eine der Invarianten
dieses Tensors unter regulären Transformationen.
Ok, wenn man Druck so definiert, ist er immer ein Skalar(feld).
Post by Ralf KusmierzPost by Hendrik van HeesDieser ist aber bei Fluiden wegen der Isotropie
desselben in der Tat diagonal und alle drei Komponenten sind gleich, so
daß wir hier tatsächlich ein skalares Feld haben, das den Druck
beschreibt.
Stimmt, ist aber "reiner Zufall" ;-)
Nein, nein! Das ist Folge der Isotropie. Die Sache verhält sich ja so
(hoffentlich kriege ich das jetzt richtig hin; wir befinden uns in der
nichtrelativistischen Elastizitäts- bzw. Fluidmechanik, ein für mich etwas
entlegenes Gebiet, also korrigiert mich, wenn was falsch ist).
Es geht um folgendes: Man denke sich aus einer Flüssigkeit bzw. einem
Festkörper im Rahmen einer Kontinuumstheorie eine beliebige infinitesimale
Fläche herausgegriffen. Die hat einen Flächenvektor d \vec{A}, der
senkrecht auf dieser Fläche steht und eine "Länge", die dem Flächeninhalt
entspricht. Dann ist die Kraft, die auf diese Fläche wirkt, durch den sog.
Spannungs-Dehnungstensor gegeben (in Komponentenschreibweise):
F_{k}=\sigma_{kl} dA_l
Alle Indizes schreibe ich jetzt unten, was eigentlich schlampig ist, im
euklidischen Rahmen aber mal erlaubt sei.
Dann betrachtet man einen kleinen Tetraeder, der ein Volumen aufspannt. An
dem muß, wenn man die Kräfte- und Drehmomentenbilanz aufstellt herrschen.
Daraus folgt die Symmetrie des Spannungstensors:
\sigma_{kl}=\sigma_{lk}
Es ist klar, daß F_k und \sigma_{kl} vom Ort abhängen, an dem man das
Flächenstückchen dA betrachtet. Da die Kraft ein Vektor und der
Flächenvektor ebenfalls ein Vektor ist, muß \sigma ein symmetrischer Tensor
2. Stufe sein.
Den kann man aber noch weiter hinsichtlich seines Transformationsverhaltens
unter Drehungen zerlegen, nämlich in ein Skalarfeld und ein Feld zur
4-dimensionalen Darstellung (entsprechend einer
Drehimpulsbetragsquantenzahl 2 in der QT, hier aber bzgl. kartesischer
Koordinaten ausgedrückt, was natürlicher hier natürlicher ist als nach
komplexen Eigenvektoren der z-Komponente des Spins). Das Skalarfeld ist
durch die Spur gegeben (die eine Invariante, also ein Skalar ist, wie es
für ein Skalarfeld ja sein muß), und ein spurfreies Tensorfeld 2. Stufe,
entsprechend der Identität:
\sigma_{kl}=p \delta_{kl} + (\sigma_{kl}-p \delta_{kl})
Daraus erkennt man, daß in der Tat, 3 p=Tr \sigma sein muß, damit die
Klammer auf der rechten Seite verschwindet.
Ist der betrachtete Körper isotrop (was bei Gasen und Flüssigkeiten der Fall
ist), ist \sigma_{kl}=p \delta_{kl}, weil ja definitionsgemäß keine
Richtungen irgendwie ausgezeichnet sind.
Im anisotropen Fall, kann man den Tensor immerhin mit Orthogonaltrafos
(Hauptachsentrafos) diagonalisieren, was dann ein bestimmtes
Koordinatensystem auszeichnet (die Hauptspannungsrichtungen, oder wie das
heißt).
Im relativistischen Kontext geht dieses ganze Konzept in den
vierdimensionalen Energie-Impulstensor auf. Der Spannungstensor ist dann
der raum-räumliche Anteil.
Beispiel: In der Elektrodynamik wird diese Rolle von dem (Belinfanteschen
eichunabhängigen und symmetrischen) Energie-Impulstensor übernommen. In dem
Fall ist der raum-räumliche Anteil der Maxwellsche Spannungstensor.
In der ART ist der zum symmetrischen Energie-Impuls-Vierertensor ergänzte
Spannungstensor die Quelle, an die die Gravitation im Sinne der Minimalen
Ankopplung des Gravitonenfeldes an die Materie (notwendig universell!)
koppelt.
Im Spiegel stand soeben zu lesen, daß man durch Neuvermessung der
Erde-Monddistanz diese Universalität (maW. also das Äquivalenzprinzip)
einem neuen Präzisionstest unterziehen will. Ergibt sich da eine
Abweichung, wäre Einsteins ART falsch und damit die Gravitation nicht durch
ein masseloses Spin-2-Feld zu beschreiben. Das wäre eine ziemliche
Sensation, aber warten wir mal ab, die Eichprinzipien haben sich als sehr
hartnäckig gegen Widerlegungsversuche erwiesen. Sie sind zu schön, um
wirklich falsch zu sein ;-)).
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Hendrik van Hees Cyclotron Institute
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