Adjungierter Operator

[m***@sichere-welt.de]

Hallo zusammen,

kurze Frage:
Sei A=d/dx * x ein Differential-Operator. Ist es dann korrekt, dass der
adjungierte Operator hierzu -x * d/dx ist?

Ich habe das einfach über Skalarprodukt mit partieller Integration
geprüft.
Stimmt es? Bin mir nicht 100%ig sicher.

Vielen Dank
Bis dann & Gruss
Mark

[Norbert Dragon]

* Mark Ohnenachnamen schreibt

Post by m***@sichere-welt.de
Sei A=d/dx * x ein Differential-Operator. Ist es dann korrekt, dass der
adjungierte Operator hierzu -x * d/dx ist?
Ich habe das einfach über Skalarprodukt mit partieller Integration geprüft.
Stimmt es? Bin mir nicht 100%ig sicher.

Ja, macht Dich sicherer, daß jemand im Netz "Ja" schreibt?

[m***@sichere-welt.de]

Hmmmm,
interessante Frage. Kommt auf die Person an, die antwortet :-).
Möglicherweise wäre es falsch gewesen und man hätte darüber
diskutieren können.

[Hendrik van Hees]

Post by m***@sichere-welt.de
Hallo zusammen,
Sei A=d/dx * x ein Differential-Operator. Ist es dann korrekt, dass
der adjungierte Operator hierzu -x * d/dx ist?
Ich habe das einfach über Skalarprodukt mit partieller Integration
geprüft.
Stimmt es? Bin mir nicht 100%ig sicher.

Wahrscheinlich betrachtest Du den L^2 und dicht definierte Operatoren.
Ich gehe jetzt nicht auf Definitionsbereiche ein.

Angenommen f und g seien Funktionen im Definitionsbereich des Operators.
Dann gilt

int dx f^*(x) d_x [x g(x)]=-int dx [x d_x f(x)]^* g(x),

was zeigt, daß Du richtig gerechnet hast, d.h. der formal adjungierte
Operator zu Deinem Operator ist tatsächlich -x d_x.

[Arnold Neumaier]

Post by m***@sichere-welt.de
Sei A=d/dx * x ein Differential-Operator. Ist es dann korrekt, dass der
adjungierte Operator hierzu -x * d/dx ist?
Ich habe das einfach über Skalarprodukt mit partieller Integration
geprüft.
Stimmt es? Bin mir nicht 100%ig sicher.

Es h"angt davon ab, welches Skalarprodukt und welchen Funktionenraum man
benutzt. F"ur
<f,g>= integral_0^1 f(x)g(x)dx
(f, g in C^inf([0,1]) w"are es falsch. F"ur
<f,g>= integral_-ind^inf f(x)g(x)dx
(f, g im Schwarzraum "uber R) ist es richtig.


Arnold Neumaier