Boltzmann-Verteilung

[Ulrich Bollmann]

Hallo zusammen!

Ich habe Verständnisprobleme mit energetischen Besetzungen bei
thermischen Temperaturen, speziell im Umgang mit der Boltzmann-
Verteilung.

Angenommen, es liegt ein Gas von Molekülen vor, und man be-
trachtet die Besetzung der Energieniveaus der Moleküle. Dann
ist nach Boltzmann ja in

N_j = N_0 * g_j * exp(- E_j/k_B*T)

Molekülen der j-te Energiezustand E_j besetzt. Dabei sind

N_0 ... Teilchenzahl im Grundzustand
g_j ... Entartungsgrad.

Wie kann diese Verteilung jetzt grafisch aussehen? Kann man so
eine Aussage allgemein machen? Ich vermute nicht, denn g_j ist
ja keine allgemeine Größe.

Ich habe nämlich

Loading Image...

gefunden und frage mich, in welchen Fällen das gilt. Erstaun-
lich finde ich, daß das Maximum nicht bei E = 0 liegt, wie man
es dem exponentiellen Faktor entnehmen würde. Liegt das am g_j?

Ich denke dabei an ein Bildchen im Demtröder 3: Seite 220, Abb.
7.1 b).

Außerdem interessiert mich, wann die obige Formel für N_j über-
haupt gilt. Ist das nur bei "hohen" Energien in der Größenord-
nung der thermischen Energie und darüber so? Bei kleinen Ener-
gien sollten dann doch Bose-Einstein und Fermi-Dirac zum Tragen
kommen, oder?

Vielleicht kann hier ja jemand Licht ins Dunkle bringen... :-(
Herzlichen Dank im voraus!

Viele Grüße
Ulrich

[Ulrich Bollmann]

Mmmh, sorry mit dem Durcheinander mit Thomas und mir (falls noch
jemand Thomas' zurückgezogenen Beitrag sehen kann). Wir nutzen
denselben Account, weil wir gemeinsam für eine Prüfung lernen...

Viele Grüße
Ulrich

[Jörn Donges]

Post by Ulrich Bollmann
Hallo zusammen!
Ich habe Verständnisprobleme mit energetischen Besetzungen bei
thermischen Temperaturen, speziell im Umgang mit der Boltzmann-
Verteilung.
Angenommen, es liegt ein Gas von Molekülen vor, und man be-
trachtet die Besetzung der Energieniveaus der Moleküle. Dann
ist nach Boltzmann ja in
N_j = N_0 * g_j * exp(- E_j/k_B*T)
Molekülen der j-te Energiezustand E_j besetzt. Dabei sind
N_0 ... Teilchenzahl im Grundzustand
g_j ... Entartungsgrad.
Wie kann diese Verteilung jetzt grafisch aussehen? Kann man so
eine Aussage allgemein machen? Ich vermute nicht, denn g_j ist
ja keine allgemeine Größe.
Ich habe nämlich
http://www.pci.tu-bs.de/aggericke/PC5/Kap_I/Maxwell_Energieverteilung.gif
gefunden und frage mich, in welchen Fällen das gilt. Erstaun-
lich finde ich, daß das Maximum nicht bei E = 0 liegt, wie man
es dem exponentiellen Faktor entnehmen würde. Liegt das am g_j?

Dieses Bild gibt die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Gesamtenergie des
Systems bei vorgegebener Temperatur T an, beschreibtr also ein System im
Kontakt mit einem Wärmebad. Dass die wahrscheinlichste Energie nicht E=0
ist liegt an der Anzahl von Konfigurationen des thermodynamischen
Systems bei gegebener Energie E. Für E=0 gibt es nur eine mögliche
Realisierung (nämlich alle Moleküle haben E=0). Aufgrund der geringen
Anzahl von Realisierungen verschwindet auch die Wahrscheinlichkeit, das
System in dieser Konfiguration azutreffen.

Klassisch bezeichnet man diesen Faktor eher nicht als Entartungsgrad,
sondern als Phasenraumvolumen. Die Maxwell-Bolzmannsche
Energieverteilung ergibt sich dann als Produkt des polynomial
anwachsenden Phasenraumvolumens (für ein klassischen Gas proportional zu
E^f, f Anzahl der Freiheitsgrade) und dem Bolzmannfaktor exp(-E/kT)
Siehe auch das Bild S39 oben in
http://deposit.d-nb.de/cgi-bin/dokserv?idn=97019109x&dok_var=d1&dok_ext=pdf&filename=97019109x.pdf

Post by Ulrich Bollmann
Ich denke dabei an ein Bildchen im Demtröder 3: Seite 220, Abb.
7.1 b).
Außerdem interessiert mich, wann die obige Formel für N_j über-
haupt gilt. Ist das nur bei "hohen" Energien in der Größenord-
nung der thermischen Energie und darüber so? Bei kleinen Ener-
gien sollten dann doch Bose-Einstein und Fermi-Dirac zum Tragen
kommen, oder?

Ja. Der wesentliche Unterschied bei der klassischen Statistik ist, dass
die Teilchen unterscheidbar sind, man könnte demnach theoretisch ein
individuelles Molekül markieren und seine Bahn den gesamten
Prozeßverlauf hindurch gesondert verfolgen. Quantenmechanisch geht das
nicht mehr, es ist aber eine brauchbare Näherung wenn die Wechselwirkung
der Teilchen untereinander vernachlässigbar ist gegenüber der
thermischen Energie, also eben bei einem klassischen idealen Gas, oder
bei hohen Temperaturen.


Gruß Jörn