Arnold Neumaier
2005-03-04 19:34:15 UTC
Norbert Dragon schrieb (unter dem Thema ''Pfadintegral'')
im Kontext meiner Konsistente-Experimente-Interpretation
drei mathematische Objekte festgelegt:
1. eine fixe Algebra E von Operatoren auf einem dichten Teilraums
eines universellen Hilbertraum,
2. einem selbstadjungierten universellen Hamiltonoperator H
aus dieser Algebra,
3. einem normalen Zustand rho auf dieser Algebra.
F"ur das reale Universum ist die Algebra E der Gr"ossen von den
Feldern des Standardmodells zusammen mit der Raumzeitmetrik
erzeugt, und der Hamiltonoperator der aus der zugeh"origen
Wirkung kanonisch hergeleitete. Der Zustand des Universums ist
hingegen weitgehend unbekannt, da eine Kenntnis desselben
im Rahmen der Konsistente-Experimente-Interpretation die Kenntnis
aller Werte s"amtlicher Felder und Korrelationsfunktionen beliebiger
Ordnung an allen Orten und zu jeder Zeit impliziert.
Dagen sind die Zust"ande vieler Teilsysteme einigermassen bekannt,
insbesonders derer, mit denen Physiker experimentieren.
Wegen der bisher ungel"osten Probleme der Quantengravitation
und der Schwierigkeiten, aus dem Standardmodell Aussagen "uber
makroskopische Detektoren abzuleiten, eignet sich dieses voll
realistische Modell allerdings nicht f"ur die konkrete Analyse
eines realen Messprozesses.
Damit man sich unter dem abstrakten Universumbegriff aber etwas
konkretes vorstellen kann, sei hier ein Beispiel eines
Modelluniversums gegeben, das einfach genug ist, um es leicht
zu spezifizieren und doch wichtige Aspekte des realen Universums
wiedergibt. Wie beim realen universum spezifizieren wir die
Algebra E der Gr"ossen und den Hamiltonoperator H, lassen aber
den Zustand rho offen und betrachten h"ochstens die dadurch
induzierten Zust"ande auf Teilsystemen, soweit sie f"ur ein
Experiment relevant sind.
Wir betrachten dazu ein nichtrelativistisches Modelluniversum,
dessen Materie aus einer unbestimmten Zahl von
elementaren Kernen mit Masse m_l, Spin s_l und Ladung eZ_l
(l=1,...L, Z_l>0 ganz) sowie
Elektronen mit Masse m_0, Spin 1/2 und Ladung eZ_0 (Z_0=-1)
besteht. Die Teilchen jeder Sorte sind ununterscheidbar.
Zugeh"orige Basisgr"ossen sind ausser Massen, Ladungen und
(f"ur Elektronen) Paulimatrizen die 3-dimensionalen Ortskoordinaten
x^a und die zugeh"origen Impulse p^a, je einer pro Teilchen a,
mit den "ublichen Kommutatorrelationen.
Ausserdem enth"alt das Modelluniversum Strahlung, ausschliesslich
in Form einer unbestimmten Zahl von
Photonen, Bosonen mit Masse 0, Spin 0 und Ladung 0
und einer Frequenz im sichtbaren Bereich, also mit 3-dimensionalen
Wellenvektoren k mit Frequenz omega=|k| aus einer Oktave in diesem
Frequenzband entspricht. Zugeh"orige Basisgr"ossen sind die
Strahlungsenergie H_rad := integral dk |k| a^*(k)a(k)
und f"ur jedes Teilchen a ein
Strahlungspotential U^a := g integral dk a(k) exp(ik dot x^a).
Dabei gehen die Integrale "uber die Kugelschale
K = {k | |k| in ]1,2[}
die a(k) sind Vernichteroperatoren und die a^*(k) die
dazu adjungierten Erzeugeroperatoren mit den "ublichen
Kommutatorrelationen.
(Die Einheiten sind so gew"ahlt, dass c=hbar=1 und die Frequenz
des unteren Randes des Strahlungsspektrums 1 ist.)
Die Algebra der Gr"ossen ist die von den Basisgr"ossen und allen
Schwarzfunktionen in den x^a erzeugte Algebra von linearen
Operatoren auf dem Raum
\H = \H_matter tensor \H_rad,
wobei \H_matter aus dem Nullraum des Ladungsoperators
Q = sum_l=0^L a_l^*(x) Z_l a_l(x)
im Fockraum "uber dem Raum der Schwarzfunktionen
im R^3 (mit der dem jeweiligen Spin entsprechenden Statistik) ist
und \H_rad der Fockraum "uber dem Raum der Schwarzfunktionen auf K..
Den Hamiltonoperator des Universums setzen wir an als
H = H_\matter + H_rad + g sum_a (U^a+(U^a)^*)
mit einer Kopplungskonstante g. Dabei ist H_matter
der Hamiltonoperator der Materie, gegeben durch die traditionelle
Formel mit der Coulomb-Wechselwirkung.
Das Modelluniversum ist translations und rotationsinvariant,
und Streuprobleme lassen sich mit den traditionellen Formeln
ohne Infrarot- oder Ultraviolettprobleme l"osen.
Es gibt
Atome, Molek"ule, chemische Reaktionen und Molek"ulspektren,
keine Radioaktivit"at oder Kernreaktionen,
kein polarisiertes Licht,
keine mikroskopischen Felder
jedoch erzeugt die Coulomb-Wechselwirkung makroskopische
elektromagnetische Felder.
Damit ist ein Grossteil der realen Wirklichkeit qualitativ
pr"asent, ohne dass die typischen Schwierigkeiten der
Quantenfeldtheorie und der Eichtheorie auftreten.
Insbesondere ist die gesamte Chemie des Universums
(mit Ausnahme von Laserchemie) reproduzierbar,
ebenso die gesamte Str"omungsmechanik, die geometrische Optik
und fast die gesamte Festk"orperphysik. Das hat zur Folge, dass
sich alle mechanischen oder hydraulischen Messger"ate,
und die meisten optischen und elektrischen modellieren lassen.
Insbesondere lassen sich fotographisch aufgezeichnete Versuche
mit Blenden und Bildschirmen, wie das Doppelspaltexperiment,
mit Licht und Photodetektoren, sowie Versuche mit Magneten,
wie das Stern-Gerlach-Experiment in unserem Modelluniversum
durchf"uhren.
Vorausgesetzt, es gibt darin Physiker, die die Experimente
durchf"uhren. Dies aus einem mikroskopischen Modell abzuleiten,
"ubersteigt die M"oglichkeiten gegenw"artiger Physik,
so dass dies ohne Beweis angenommen wird. W"ahrend der
Durchf"uhrung des Versuchs sind Physiker entbehrlich; ihre
Rolle beschr"ankt sich auf Pr"aparation des Experiments und
das sp"atere Anschauen von Fotographien. Wir werden daher
Physiker stets als Teil der irrelevanten Umgebung des Experiments
betrachten. Damit ist keine Herabsetzung der Zunft der
experimentellen Physiker, die f"ur all unser Detailwissen
"uber das Universum verantwortlich sind, beabsichtigt.
In unserem vereinfachten Modell des Universums bedeutet also
Pr"aparation eines Experimentes einfach die Behauptung (Annahme),
es g"abe im Modelluniversum ein physikalisches System in einem
Anfangszustand mit den f"ur die vollst"andige Beschreibung
des Experiments notwendigen Eigenschaften. Die Aufgabe der
Analyse ist es, die daraus resultierenden Beobachtungen zu
erkl"aren.
Arnold Neumaier
im Kontext meiner Konsistente-Experimente-Interpretation
Gibt es ein Modelluniversum mit einem Paar von Spin-1/2-Teilchen
oder mit einem Wasserstoffatom, sodaß man prüfen könnte, ob Dein
Modell den Namen Universum verdient?
In der Konsistente-Experimente-Interpretation ist das Universum durchoder mit einem Wasserstoffatom, sodaß man prüfen könnte, ob Dein
Modell den Namen Universum verdient?
drei mathematische Objekte festgelegt:
1. eine fixe Algebra E von Operatoren auf einem dichten Teilraums
eines universellen Hilbertraum,
2. einem selbstadjungierten universellen Hamiltonoperator H
aus dieser Algebra,
3. einem normalen Zustand rho auf dieser Algebra.
F"ur das reale Universum ist die Algebra E der Gr"ossen von den
Feldern des Standardmodells zusammen mit der Raumzeitmetrik
erzeugt, und der Hamiltonoperator der aus der zugeh"origen
Wirkung kanonisch hergeleitete. Der Zustand des Universums ist
hingegen weitgehend unbekannt, da eine Kenntnis desselben
im Rahmen der Konsistente-Experimente-Interpretation die Kenntnis
aller Werte s"amtlicher Felder und Korrelationsfunktionen beliebiger
Ordnung an allen Orten und zu jeder Zeit impliziert.
Dagen sind die Zust"ande vieler Teilsysteme einigermassen bekannt,
insbesonders derer, mit denen Physiker experimentieren.
Wegen der bisher ungel"osten Probleme der Quantengravitation
und der Schwierigkeiten, aus dem Standardmodell Aussagen "uber
makroskopische Detektoren abzuleiten, eignet sich dieses voll
realistische Modell allerdings nicht f"ur die konkrete Analyse
eines realen Messprozesses.
Damit man sich unter dem abstrakten Universumbegriff aber etwas
konkretes vorstellen kann, sei hier ein Beispiel eines
Modelluniversums gegeben, das einfach genug ist, um es leicht
zu spezifizieren und doch wichtige Aspekte des realen Universums
wiedergibt. Wie beim realen universum spezifizieren wir die
Algebra E der Gr"ossen und den Hamiltonoperator H, lassen aber
den Zustand rho offen und betrachten h"ochstens die dadurch
induzierten Zust"ande auf Teilsystemen, soweit sie f"ur ein
Experiment relevant sind.
Wir betrachten dazu ein nichtrelativistisches Modelluniversum,
dessen Materie aus einer unbestimmten Zahl von
elementaren Kernen mit Masse m_l, Spin s_l und Ladung eZ_l
(l=1,...L, Z_l>0 ganz) sowie
Elektronen mit Masse m_0, Spin 1/2 und Ladung eZ_0 (Z_0=-1)
besteht. Die Teilchen jeder Sorte sind ununterscheidbar.
Zugeh"orige Basisgr"ossen sind ausser Massen, Ladungen und
(f"ur Elektronen) Paulimatrizen die 3-dimensionalen Ortskoordinaten
x^a und die zugeh"origen Impulse p^a, je einer pro Teilchen a,
mit den "ublichen Kommutatorrelationen.
Ausserdem enth"alt das Modelluniversum Strahlung, ausschliesslich
in Form einer unbestimmten Zahl von
Photonen, Bosonen mit Masse 0, Spin 0 und Ladung 0
und einer Frequenz im sichtbaren Bereich, also mit 3-dimensionalen
Wellenvektoren k mit Frequenz omega=|k| aus einer Oktave in diesem
Frequenzband entspricht. Zugeh"orige Basisgr"ossen sind die
Strahlungsenergie H_rad := integral dk |k| a^*(k)a(k)
und f"ur jedes Teilchen a ein
Strahlungspotential U^a := g integral dk a(k) exp(ik dot x^a).
Dabei gehen die Integrale "uber die Kugelschale
K = {k | |k| in ]1,2[}
die a(k) sind Vernichteroperatoren und die a^*(k) die
dazu adjungierten Erzeugeroperatoren mit den "ublichen
Kommutatorrelationen.
(Die Einheiten sind so gew"ahlt, dass c=hbar=1 und die Frequenz
des unteren Randes des Strahlungsspektrums 1 ist.)
Die Algebra der Gr"ossen ist die von den Basisgr"ossen und allen
Schwarzfunktionen in den x^a erzeugte Algebra von linearen
Operatoren auf dem Raum
\H = \H_matter tensor \H_rad,
wobei \H_matter aus dem Nullraum des Ladungsoperators
Q = sum_l=0^L a_l^*(x) Z_l a_l(x)
im Fockraum "uber dem Raum der Schwarzfunktionen
im R^3 (mit der dem jeweiligen Spin entsprechenden Statistik) ist
und \H_rad der Fockraum "uber dem Raum der Schwarzfunktionen auf K..
Den Hamiltonoperator des Universums setzen wir an als
H = H_\matter + H_rad + g sum_a (U^a+(U^a)^*)
mit einer Kopplungskonstante g. Dabei ist H_matter
der Hamiltonoperator der Materie, gegeben durch die traditionelle
Formel mit der Coulomb-Wechselwirkung.
Das Modelluniversum ist translations und rotationsinvariant,
und Streuprobleme lassen sich mit den traditionellen Formeln
ohne Infrarot- oder Ultraviolettprobleme l"osen.
Es gibt
Atome, Molek"ule, chemische Reaktionen und Molek"ulspektren,
keine Radioaktivit"at oder Kernreaktionen,
kein polarisiertes Licht,
keine mikroskopischen Felder
jedoch erzeugt die Coulomb-Wechselwirkung makroskopische
elektromagnetische Felder.
Damit ist ein Grossteil der realen Wirklichkeit qualitativ
pr"asent, ohne dass die typischen Schwierigkeiten der
Quantenfeldtheorie und der Eichtheorie auftreten.
Insbesondere ist die gesamte Chemie des Universums
(mit Ausnahme von Laserchemie) reproduzierbar,
ebenso die gesamte Str"omungsmechanik, die geometrische Optik
und fast die gesamte Festk"orperphysik. Das hat zur Folge, dass
sich alle mechanischen oder hydraulischen Messger"ate,
und die meisten optischen und elektrischen modellieren lassen.
Insbesondere lassen sich fotographisch aufgezeichnete Versuche
mit Blenden und Bildschirmen, wie das Doppelspaltexperiment,
mit Licht und Photodetektoren, sowie Versuche mit Magneten,
wie das Stern-Gerlach-Experiment in unserem Modelluniversum
durchf"uhren.
Vorausgesetzt, es gibt darin Physiker, die die Experimente
durchf"uhren. Dies aus einem mikroskopischen Modell abzuleiten,
"ubersteigt die M"oglichkeiten gegenw"artiger Physik,
so dass dies ohne Beweis angenommen wird. W"ahrend der
Durchf"uhrung des Versuchs sind Physiker entbehrlich; ihre
Rolle beschr"ankt sich auf Pr"aparation des Experiments und
das sp"atere Anschauen von Fotographien. Wir werden daher
Physiker stets als Teil der irrelevanten Umgebung des Experiments
betrachten. Damit ist keine Herabsetzung der Zunft der
experimentellen Physiker, die f"ur all unser Detailwissen
"uber das Universum verantwortlich sind, beabsichtigt.
In unserem vereinfachten Modell des Universums bedeutet also
Pr"aparation eines Experimentes einfach die Behauptung (Annahme),
es g"abe im Modelluniversum ein physikalisches System in einem
Anfangszustand mit den f"ur die vollst"andige Beschreibung
des Experiments notwendigen Eigenschaften. Die Aufgabe der
Analyse ist es, die daraus resultierenden Beobachtungen zu
erkl"aren.
Arnold Neumaier