Hauptträgheitsachsen / Freie bzw. Rotationsachsen / Deviationsmomente

[Anton Matthes]

Liebe Physiker!


Zur Zeit beschäftigt mich die o.g. Problematik, ich komme aber an einer
Stelle leider nicht so recht weiter.

Die Rotation eines Körper ist nur um solche Achsen stabil (und kann damit
auch frei im Raume passieren, z.B. in der Schwerelosigkeit), wenn diese das
größte bzw. kleinste (Haupt-)Trägheitsmoment aufweisen. Das sind die sog.
freien Hauptträgheits- bzw. Rotationsachsen, die natürlich den Schwerpunkt
des Körpers schneiden.

Die Rotation eines unsymmetrischen Körpers erzeugt, wenn diese nicht um eine
der Hauptträgheitsachsen erfolgt, ein Deviationsmoment

Die Rotation um die dritte Hauptträgheitsachse, nämlich um die mit dem
"mittleren" Haupt(achsen)trägheitsmoment, ist hingegen nicht stabil. In
einem Physikbuch las ich, völlig plausibel, daß eine Rotation nur dann
stabil sein kann, wenn sich alle Fliehkräfte und -momente sich gegenseitig
aufheben, also die Summe aller Fliehkräfte und der durch sie verursachten
Momente verschwindet. Das liest sich nach meinem laienhaften Verständnis so,
als müsse das Deviationsmoment Null sein. Nun ist, so meine Recherche, aber
das Deviationsmoment um die mittlere Hauptträgheitsachse auch null, und zwar
auch bei völlig unsymmetrischen Körpern. Anzweifeln tue ich die Aussage mit
der instabilen Rotationsachse aber dennoch nicht.

Offensichtlich ist das Deviationsmoment bei einem hinreichend symmetrischen
Körper, nämlich einem Quader mit 3 verschiedenen Abmessungen, auch bei der
mittleren Hauptträgheitsachse null, er ist also bezüglich der Rotation
hinreichend symmetrisch. Dennoch ist die Rotation um diese Achse nicht
stabil?! Genau das steht in meinem Physikbuch!

Es erheben sich deshalb zwei Fragen.

1. Gibt es einen anderen, bekannten Grund als das (verschwindende?!)
Deviationsmoment, der die Rotation um die mittlere Hauptträgheitsachse
instabil werden läßt?

2. Zu welcher Hauptträgheitsachse hinüberzukippen neigt diese instabile
Rotation eher oder ausschließlich: Zur der mit dem größeren (bzw. größten)
oder der mit dem kleineren (bzw. kleinsten) Hauptträgheitsmoment?

Wenn mir jemand darauf fundierte Antworten geben könnte, worum ich bitte und
wofür ich im voraus danke, so würde es mich freuen.

Viele Grüße

Anton Matthes

[Vogel]

Post by Anton Matthes
Offensichtlich ist das Deviationsmoment bei einem hinreichend
symmetrischen K”rper, n„mlich einem Quader mit 3 verschiedenen
Abmessungen, auch bei der mittleren Haupttr„gheitsachse null, er ist
also bezglich der Rotation hinreichend symmetrisch. Dennoch ist die
Rotation um diese Achse nicht stabil?! Genau das steht in meinem
Physikbuch!
Es erheben sich deshalb zwei Fragen.
1. Gibt es einen anderen, bekannten Grund als das (verschwindende?!)
Deviationsmoment, der die Rotation um die mittlere Haupttr„gheitsachse
instabil werden l„át?

Die dynamische Instabilität.
Der Körper kann um die Hauptachse des grössten Trägheistmomentes kippen.

[Roland Damm]

Moin,

Post by Anton Matthes
Offensichtlich ist das Deviationsmoment bei einem hinreichend
symmetrischen Körper, nämlich einem Quader mit 3 verschiedenen
Abmessungen, auch bei der mittleren Hauptträgheitsachse null,
er ist also bezüglich der Rotation
hinreichend symmetrisch. Dennoch ist die Rotation um diese
Achse nicht stabil?! Genau das steht in meinem Physikbuch!

Die Rotation um diese Achse ist metastabil (oder wie man das auch
sonst noch nennen kann), so wie ein Bleistift, der auf der
Spitze steht.
Wenn er exakt um diese Achse rotiert, passiert nichts. Die Frage
ist, was passiert, wenn der Körper eine kleine Störung bekommt.

Bei Rotation um die anderen beiden Achsen geht er infolge einer
Störung in eine stabile sozusagen Taumelbewegung über, rotiert
also um eine Achse die nur leicht verkippt gegen die Hauptachse
ist. Rotiert er um die Achse des mittleren Trägheitsmoments,
wird die Sache bei der kleinsten Störung sofort instabil.
Rotiert er um irgend eine andere schiefe Achse, braucht es nicht
mal eine Störung um die Sache instabil zu machen.

CU Rollo

[Lothar Brendel]

Post by Roland Damm
Moin,

Post by Anton Matthes
Offensichtlich ist das Deviationsmoment bei einem hinreichend
symmetrischen Körper, nämlich einem Quader mit 3 verschiedenen
Abmessungen, auch bei der mittleren Hauptträgheitsachse null,
er ist also bezüglich der Rotation
hinreichend symmetrisch. Dennoch ist die Rotation um diese
Achse nicht stabil?! Genau das steht in meinem Physikbuch!

Nochmal zur Terminologie: Die Rotation um die mittlere Hauptträgheitsachse
ist *stationär* aber nicht *stabil*. "Stabil" meint stets "stabil gegen
Störungen".

Post by Roland Damm
Die Rotation um diese Achse ist metastabil (oder wie man das auch
sonst noch nennen kann),

Sie ist sogar instabil, da (wie Du ja auch schriebst) jede noch so kleine
Störung die Achse ausbrechen lässt. Wäre sie metastabil, gäbe es endlich
große Störungen, die noch "aufgefangen" werden könnten.

Ciao
Lothar

[Anton Matthes]

Dank auch Dir, Lothar! Deine Antwort war da, nachdem ich breits antwortete.

Post by Lothar Brendel

Post by Roland Damm
Moin,

Post by Anton Matthes
Offensichtlich ist das Deviationsmoment bei einem hinreichend
symmetrischen Körper, nämlich einem Quader mit 3 verschiedenen
Abmessungen, auch bei der mittleren Hauptträgheitsachse null,
er ist also bezüglich der Rotation
hinreichend symmetrisch. Dennoch ist die Rotation um diese
Achse nicht stabil?! Genau das steht in meinem Physikbuch!

Nochmal zur Terminologie: Die Rotation um die mittlere Hauptträgheitsachse
ist *stationär* aber nicht *stabil*. "Stabil" meint stets "stabil gegen
Störungen".

Post by Roland Damm
Die Rotation um diese Achse ist metastabil (oder wie man das auch
sonst noch nennen kann),

Sie ist sogar instabil, da (wie Du ja auch schriebst) jede noch so kleine
Störung die Achse ausbrechen lässt. Wäre sie metastabil, gäbe es endlich
große Störungen, die noch "aufgefangen" werden könnten.
Ciao
Lothar

[Anton Matthes]

Einverstanden, vielen Dank Euch beiden, besonders natürlich Dir, Rollo!

Nach längerer (!) Suche im Internet, erst nachdem ich in diese Newsgroup
schrieb, fand ich etwas, was sich mit dieser Fragestellung wirklich
auseinandersetzt: http://theory.gsi.de/~vanhees/faq/kreisel/node4.html.
Eulersche Kreiselgleichungen, auf die man sofort stößt....hm....hatte ich
nie vorher davon gehört oder gelesen.

Ich hatte zwar seinerzeit keine Physik studiert, mit der Mechanik bei weitem
aber mehr als nur oberflächlich zu tun. Dennoch bin ich erstaunt darüber,
wie sehr bereits ein jedem Laien vermittelbares, fast noch Alltagsproblem
nicht nur nicht mehr in meiner Mechanikbildung enthalten ist, sondern auch
mit meinen Studienkenntnissen bereits nicht mehr beantwort- bzw. lösbar ist
(Tensoren waren in den in meinem Studium enthaltenen Mathematikfächern kein
Thema).

Wenn ein Bleistift (oder ein anderer langer Zylinder) wegen einer Störung um
die Achse des kleinsten Trägheitsmomentes taumelt, also die
Zylindermittelachse einen (kleinen?) Winkel zur Rotationsachse bildet, dann
müßte doch das dann auftretende Deviationsmoment den Bleistift "nach außen
reißen", so daß er um eine Querachse rotiert?! Oder die mir bekannte
Kreiselwirkung, auf Kräfte/Momente mit orthogonaler Auslenkung/Ausweichung
zu reagieren, verhindert das?!

Erstaunlicherweise ist es beim Experiment mit dem querdrehenden Ei, das sich
aufrichtet, zudem noch genau umgekehrt, dort kippt die Rotationsachse zur
Achse des kleinsten (?) Trägheitsmomentes.

Entschuldigt bitte diese vielleicht etwas naiv wirkenden Fragen!

Wer die Geduld hat, nochmals auf meine Fragerei einzugehen, dem sei im
voraus herzlichst gedankt!

Anton Matthes

Post by Roland Damm
Moin,

Post by Anton Matthes
Offensichtlich ist das Deviationsmoment bei einem hinreichend
symmetrischen Körper, nämlich einem Quader mit 3 verschiedenen
Abmessungen, auch bei der mittleren Hauptträgheitsachse null,
er ist also bezüglich der Rotation
hinreichend symmetrisch. Dennoch ist die Rotation um diese
Achse nicht stabil?! Genau das steht in meinem Physikbuch!

Die Rotation um diese Achse ist metastabil (oder wie man das auch
sonst noch nennen kann), so wie ein Bleistift, der auf der
Spitze steht.
Wenn er exakt um diese Achse rotiert, passiert nichts. Die Frage
ist, was passiert, wenn der Körper eine kleine Störung bekommt.
Bei Rotation um die anderen beiden Achsen geht er infolge einer
Störung in eine stabile sozusagen Taumelbewegung über, rotiert
also um eine Achse die nur leicht verkippt gegen die Hauptachse
ist. Rotiert er um die Achse des mittleren Trägheitsmoments,
wird die Sache bei der kleinsten Störung sofort instabil.
Rotiert er um irgend eine andere schiefe Achse, braucht es nicht
mal eine Störung um die Sache instabil zu machen.
CU Rollo

[Roland Damm]

Moin,

Post by Anton Matthes
Nach längerer (!) Suche im Internet, erst nachdem ich in diese
Newsgroup schrieb, fand ich etwas, was sich mit dieser
http://theory.gsi.de/~vanhees/faq/kreisel/node4.html. Eulersche
Kreiselgleichungen, auf die man sofort stößt....hm....hatte ich
nie vorher davon gehört oder gelesen.

Na ja, wenn dir diese Gleichungen anschaulich erscheinen (so wie
Hendrik), dann Glückwunsch. Zumindest mein Gehinrn funktioniert
nicht so, ich muss mir immer eine anschauliche mechaniche
Erklärung zurechtlegen.

Post by Anton Matthes
Wenn ein Bleistift (oder ein anderer langer Zylinder) wegen
einer Störung um die Achse des kleinsten Trägheitsmomentes
taumelt, also die Zylindermittelachse einen (kleinen?) Winkel
zur Rotationsachse bildet, dann müßte doch das dann auftretende
Deviationsmoment den Bleistift "nach außen reißen", so daß er
um eine Querachse rotiert?! Oder die mir bekannte
Kreiselwirkung, auf Kräfte/Momente mit orthogonaler
Auslenkung/Ausweichung zu reagieren, verhindert das?!

Tcha. Ich (Vorbemerkung: Ich habe dafür auch kein für mein Gehirn
intuitives Verständnis) habe beim Schreiben meiner Antwort an
einer 'anschaulichen' Erklärung gebastelt, bin aber noch nicht
so weit. Aber der Weg dürfte stimmen:

Ich würde die Rotation des Bleistifts in zwei Rotationen
zerlegen, einmal die um die Hauptachse (seine Längsachse) und
einmal die Taumelbewegung um eine andere Achse. Beide Drehungen
haben einen Drehimpuls. Dehimpulserhaltung gilt.

Kommt ein Stoß auf die Achse, so bewirkt dieser kein Drehmoment
(definiere ich mal so). Der Stoß bringt nur, dass die
Taumelbewegung erst entsteht. Diese Taumelbewegung hat aber
einen Drehimpuls, der muss der Rotation um die Hauptachse
entzogen werden, weil er sonst nirgends herkommen kann.

Die Frage ist die nach dem Verhältnis: Bei der Längsachse des
Bleistiftes bringt eine geringe Taumelbewegung schon einen
großen Drehimpuls mit sich, groß im Vergleich zum Drehimpuls um
die Hauptachse.

....

Irgendwie in der Richtung könnte eine (zumindest für mich)
anschauliche Erklärung laufen, gebe zu dass das bis jetzt nur
ein Textbaustein war:-)

CU Rollo

[Anton Matthes]

Hallo Roland, danke für Deine Geduld mit mir!

Post by Roland Damm
Na ja, wenn dir diese Gleichungen anschaulich erscheinen (so wie
Hendrik), dann Glückwunsch.

Nein, leider nicht, obwohl es mich sehr interessiert.

Post by Roland Damm
Zumindest mein Gehinrn funktioniert
nicht so, ich muss mir immer eine anschauliche mechaniche
Erklärung zurechtlegen.

Die ist zumindest plausibler und - eben - anschaulicher.

Post by Roland Damm
Ich würde die Rotation des Bleistifts in zwei Rotationen
zerlegen, einmal die um die Hauptachse (seine Längsachse) und
einmal die Taumelbewegung um eine andere Achse.

??

Die Taumelbewegung erfolgt doch um die Rotationsachse?! Sie entsteht, weil
Hauptträgheitsachse / Symmetrieachse mit der Rotationsachse einen Winkel
bildet, die Symmetrieachse damit um die Rotationsachse - logischerweise -
rotiert.

Post by Roland Damm
Beide Drehungen
haben einen Drehimpuls. Dehimpulserhaltung gilt.
Kommt ein Stoß auf die Achse, so bewirkt dieser kein Drehmoment
(definiere ich mal so).

Ob diese Vereinfachung zulässig ist, bin ich mir nicht so sicher.

Post by Roland Damm
Der Stoß bringt nur, dass die
Taumelbewegung erst entsteht. Diese Taumelbewegung hat aber
einen Drehimpuls, der muss der Rotation um die Hauptachse
entzogen werden, weil er sonst nirgends herkommen kann.

Genau dieser Drehimpuls könnte doch von diesem Stoß "gewonnen" werden?!

Post by Roland Damm
Die Frage ist die nach dem Verhältnis: Bei der Längsachse des
Bleistiftes bringt eine geringe Taumelbewegung schon einen
großen Drehimpuls mit sich, groß im Vergleich zum Drehimpuls um
die Hauptachse.

Das kann ich nachvollziehen. Die Zylinderachse des Bleistiftes ist ja die
mit dem minimalen Hauptträgheitsmoment.

Post by Roland Damm
Irgendwie in der Richtung könnte eine (zumindest für mich)
anschauliche Erklärung laufen, gebe zu dass das bis jetzt nur
ein Textbaustein war:-)

Von mir nicht. Ich bin "leider" "nur" Ingenieur und muß spätestens beim
Tensor aussteigen, von den Eulerschen Kreiselgleichungen ganz zu schweigen.

Freundlicher Gruß

Anton

[Roland Damm]

Moin,

Post by Anton Matthes

Post by Roland Damm
Ich würde die Rotation des Bleistifts in zwei Rotationen
zerlegen, einmal die um die Hauptachse (seine Längsachse) und
einmal die Taumelbewegung um eine andere Achse.

??
Die Taumelbewegung erfolgt doch um die Rotationsachse?! Sie
entsteht, weil Hauptträgheitsachse / Symmetrieachse mit der
Rotationsachse einen Winkel bildet, die Symmetrieachse damit um
die Rotationsachse - logischerweise - rotiert.

Man könnte - aber sicher bin ich mir dabei nicht - die Rotation
in zwei Rotationen zerlegen: Die Rotation des Körpers um seine
Hauptachse und in die Rotation der Hauptachse um eine andere.

Post by Anton Matthes

Post by Roland Damm
Kommt ein Stoß auf die Achse, so bewirkt dieser kein
Drehmoment (definiere ich mal so).

Ob diese Vereinfachung zulässig ist, bin ich mir nicht so
sicher.

Da ich schon. Sollte der Stoß ein auch Drehmoment erbringen, kann
ich ihn in zwei Stöße zerlegen. Der Eine macht kein Moment, der
andere nur. Der zweite Anteil der nur das Moment verursacht ist
trivial, weil er nur die Drehzahl ändert.

Post by Anton Matthes

Post by Roland Damm
Der Stoß bringt nur, dass die
Taumelbewegung erst entsteht. Diese Taumelbewegung hat aber
einen Drehimpuls, der muss der Rotation um die Hauptachse
entzogen werden, weil er sonst nirgends herkommen kann.

Genau dieser Drehimpuls könnte doch von diesem Stoß "gewonnen" werden?!

Eben nicht, weil ich ja nur noch den Anteil des Stoßes betrachte,
der keinen Drehimpuls erbringt.

Post by Anton Matthes

Post by Roland Damm
Irgendwie in der Richtung könnte eine (zumindest für mich)
anschauliche Erklärung laufen, gebe zu dass das bis jetzt nur
ein Textbaustein war:-)

Von mir nicht. Ich bin "leider" "nur" Ingenieur und muß
spätestens beim Tensor aussteigen, von den Eulerschen
Kreiselgleichungen ganz zu schweigen.

Geht mir auch so:-)

CU Rollo

[angi]

Post by Roland Damm
Moin,

Post by Anton Matthes

Post by Roland Damm
Ich würde die Rotation des Bleistifts in zwei Rotationen
zerlegen, einmal die um die Hauptachse (seine Längsachse) und
einmal die Taumelbewegung um eine andere Achse.

??
Die Taumelbewegung erfolgt doch um die Rotationsachse?! Sie
entsteht, weil Hauptträgheitsachse / Symmetrieachse mit der
Rotationsachse einen Winkel bildet, die Symmetrieachse damit um
die Rotationsachse - logischerweise - rotiert.

Man könnte - aber sicher bin ich mir dabei nicht - die Rotation
in zwei Rotationen zerlegen: Die Rotation des Körpers um seine
Hauptachse und in die Rotation der Hauptachse um eine andere.

Post by Anton Matthes

Post by Roland Damm
Kommt ein Stoß auf die Achse, so bewirkt dieser kein
Drehmoment (definiere ich mal so).

Ob diese Vereinfachung zulässig ist, bin ich mir nicht so
sicher.

Da ich schon. Sollte der Stoß ein auch Drehmoment erbringen, kann
ich ihn in zwei Stöße zerlegen. Der Eine macht kein Moment, der
andere nur. Der zweite Anteil der nur das Moment verursacht ist
trivial, weil er nur die Drehzahl ändert.

Post by Anton Matthes

Post by Roland Damm
Der Stoß bringt nur, dass die
Taumelbewegung erst entsteht. Diese Taumelbewegung hat aber
einen Drehimpuls, der muss der Rotation um die Hauptachse
entzogen werden, weil er sonst nirgends herkommen kann.

Genau dieser Drehimpuls könnte doch von diesem Stoß "gewonnen" werden?!

Eben nicht, weil ich ja nur noch den Anteil des Stoßes betrachte,
der keinen Drehimpuls erbringt.

Post by Anton Matthes

Post by Roland Damm
Irgendwie in der Richtung könnte eine (zumindest für mich)
anschauliche Erklärung laufen, gebe zu dass das bis jetzt nur
ein Textbaustein war:-)

Von mir nicht. Ich bin "leider" "nur" Ingenieur und muß
spätestens beim Tensor aussteigen, von den Eulerschen
Kreiselgleichungen ganz zu schweigen.

Geht mir auch so:-)
CU Rollo

Beim Eiaufrichten oder dem Bleistift ist es jeweils so, daß hier eben
noch ein weiteres Kraftfeld mit im Spiel ist. Im freien Fall sähe das
alles wieder ganz anders aus. Da Ei würde sich nicht aufrichten, weil
es gar nicht weiß, wo oben oder unten sein soll :)

[Anton Matthes]

Moin, moin!

Post by angi
Beim Eiaufrichten oder dem Bleistift ist es jeweils so, daß hier eben
noch ein weiteres Kraftfeld mit im Spiel ist. Im freien Fall sähe das
alles wieder ganz anders aus. Da Ei würde sich nicht aufrichten, weil
es gar nicht weiß, wo oben oder unten sein soll :)

Danke!

Allmählich wird es mit dem Tensor immer klarer. In
http://www.physik.uni-kl.de/aeschlimann/lectures/EXP1SS06/11.Vorlesung01.06.06.pdf
steht, daß der Körper immer die Tendenz hat, seine Rotation zur
Hauptträgheitsachse mit dem größten Trägheitsmoment zu kippen. Insofern ist
mir das sich aufrichtende Ei immer noch schleierhaft, aber wir müssen das
hier nicht mehr detaillieren.

Vielen Dank an alle, die mir geantwortet und sich bemüht hatten, ein wenig
Licht in mein Dunkel zu bringen!

Anton

[Anton Matthes]

Post by angi
Beim Eiaufrichten oder dem Bleistift ist es jeweils so, daß hier eben
noch ein weiteres Kraftfeld mit im Spiel ist. Im freien Fall sähe das
alles wieder ganz anders aus. Da Ei würde sich nicht aufrichten, weil
es gar nicht weiß, wo oben oder unten sein soll :)

Weißt Du dazu näheres?

Aufrichten würde es sich in der Schwerelosigkeit (bzw. dem freien Fall)
natürlich nicht, weil es gar kein "Auf" gäbe. Dennoch könnte die
Rotationsachse "kippen".

Rätselhaft ist mir das Aufrichten des Eis nunmehr sogar aus zwei Gründen:

1. Die Rotation kippt zu einer Achse mit einem kleineren Trägheitsmoment

2. Der Schwerpunkt des Eis wandert bei diesem Aufrichten ein wenig nach
oben, es muß also Bewegungs- (konkret: Rotations-)Energie in potentielle
Energie umgewandelt werden.

Anton

[Anton Matthes]

OK, eine Antwort fand ich nunmehr selbst: Das Ei rotiert, wenn es querliegt,
gar nicht um den Schwerpunkt (oder, alternativ, es "eiert" auf der
Unterlage). Der Schwerpunkt liegt nämlich nicht direkt über der
Auflagestelle (nicht in einer Schwerkraftlinie), sondern er muß natürlich
ein wenig in Richtung der Ellipsoid"hälfte" verschoben sein (weil die
größeres Volumen und mithin größere Masse hat). Das ist natürlich kein
stabiler Zustand.

Post by Anton Matthes

Post by angi
Beim Eiaufrichten oder dem Bleistift ist es jeweils so, daß hier eben
noch ein weiteres Kraftfeld mit im Spiel ist. Im freien Fall sähe das
alles wieder ganz anders aus. Da Ei würde sich nicht aufrichten, weil
es gar nicht weiß, wo oben oder unten sein soll :)

Weißt Du dazu näheres?
Aufrichten würde es sich in der Schwerelosigkeit (bzw. dem freien Fall)
natürlich nicht, weil es gar kein "Auf" gäbe. Dennoch könnte die
Rotationsachse "kippen".
1. Die Rotation kippt zu einer Achse mit einem kleineren Trägheitsmoment
2. Der Schwerpunkt des Eis wandert bei diesem Aufrichten ein wenig nach
oben, es muß also Bewegungs- (konkret: Rotations-)Energie in potentielle
Energie umgewandelt werden.
Anton

[Roland Damm]

Moin,

Post by Anton Matthes
OK, eine Antwort fand ich nunmehr selbst: Das Ei rotiert, wenn
es querliegt, gar nicht um den Schwerpunkt (oder, alternativ,
es "eiert" auf der Unterlage). Der Schwerpunkt liegt nämlich
nicht direkt über der Auflagestelle (nicht in einer
Schwerkraftlinie), sondern er muß natürlich ein wenig in
Richtung der Ellipsoid"hälfte" verschoben sein (weil die
größeres Volumen und mithin größere Masse hat). Das ist
natürlich kein stabiler Zustand.

Das ist erst mal der Anfang. Aber dann wird es kompliziert: Die
Reibung auf der Unterlage ist recht kompliziert. Erstmal wird
die Rotation natürlich gebremst. Aber darüber hinaus passiert
ein gewisses 'rollen' auf der Unterlage. Dadurch entstehen
Beschleunigungen oder zumindest Reibungskräfte die den
Drehimpuls auf sehr komplizierte Weise beeinflussen.

Siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Umkehrkreisel

Das ist insgesamt nicht so auf die Schnelle erklärt und vorallem
nicht von mir:-).

CU Rollo

[Anton Matthes]

Vielleicht noch eine Erkenntnis meinerseits, gewonnen aus einem
CAD-Programm, als kleines Dankeschön für Eure Unterstützung nachgeschoben:

Bei eine Rotationsachse zwischen zwei Hauptträgheitsachsen mit verschiedenem
Trägheitsmoment tritt bekanntermaßen ein Deviationsmoment auf. Dieses hat in
der 45°-Richtung in der von diesen Achsen aufgepannten Ebene zwischen diesen
beiden Achsen, also sozusagen in der Winkelhälfte, sein Maximum und fällt
symmetrisch nach beiden "Seiten" (Achsen) bis natürlich auf Null zurück,
wenn die Rotationsachse mit den Hauptträgheitsachsen zusammenfällt, und zwar
in Form einer Sinusfunktion, was mir neu war.

Phi sei der Winkel, der zwischen einer der beiden Hauptträgheitsachsen und
der Rotationsachse aufgespannt wird. Die funktionale Beziehung lautet dann:

Deviationsmoment (phi) = Max. Deviationsmoment * sin (2*phi).

Das konnte ich aus den Formeln bisher so nicht entnehmen, und der
Trägheitstensor (in dem das sicher "irgendwie" enthalten ist, vermute ich)
ist leider nicht "meine Liga". Herleiten kann ich das natürlich erst recht
nicht.

Freundlicher Gruß

A. Matthes