Jürgen Dollinger
2007-08-08 16:34:45 UTC
Ich habe mir die Herleitung des Planckschen Strahlungsgesetzes
angeschaut und konnte dabei ein paar Unklarheiten nicht ganz
ausraeumen. Dabei geht es mir primaer um den Teil der mit klassischer
Elektrodynamik die Modendichte im Hohlraum berechnet, die man dann
klassisch mit kT gewichtet um das Rayleigh-Jeans-Gesetz zu erhalten
oder eben mit der Bose-Verteilung zum Planckschen Strahlungsgesetz.
Zwecks gemeinsamer Sprache fasse ich mal so zusammen was man in
diversen Quellen findet (Greiner, Haken Wolf etc):
Wir gehen zunaechst von einem quaderfoermigen Hohlraum aus, dessen
Waende aus gut leitendem Material bestehen, sodass das Feld am
Rand verschwindet. Er habe die Abmessungen L_x, L_y und L_z und
damit das Volumen V = L_x L_y L_z. Die Bedingung, dass das Feld am
Rand verschwindet erfordert, dass halbe Wellenlaengen in den Kasten
passen. Mit den Komponenten des Wellenvektors formuliert, damit auch
schraeg laufende Wellen erfasst werden, lautet die Bedingung dann:
k_x L_x = n_x \pi
und analog fuer die anderen Komponenten. Aus den n_i basteln wir dann
den n-Raum der zum Abzaehlen dient. Ist die Ausdehnung des Volumens gross
gegen typische Wellenlaengen, kann man diese als kontinuierlich verteilt
annehmen und fuer die differentiellen Intervalle gilt
dk_x L_x = dn_x \pi
und analog fuer die anderen Komponenten. Damit wird das Volumenelent im
k-Raum
d^3k = dk_x dk_y dk_z = \pi^3 /V d^3n
Um vom Volumenelement d^3n auf die Zahl der Moden dN zu kommen gehen wir
zu Kugelkoordinaten ueber und integrieren ueber die Winkelanteile. Dabei
muss folgendes beachtet werden: Die n_i sind allesamt positiv, deshalb
ist der volle Winkel nicht 4 \pi sondern nur ein achtel davon also \pi /2.
Andererseits gibt es zu jedem n zwei solcher Wellen mit
unterschiedlicher Polarisation damit wird
dN = \pi n^2 dn = V/\pi^2 k^2 dk = V/(\pi^2 c^3) \omega^2 \domega.
Hat jeder dieser Moden die Energie kT erhaelt man fuer die Energiedichte
(Energie pro Volumen V und Kreisfrequenzintervall d\omega)
\rho = kT \omega^2 / (\pi^2 c^3)
Oder man setzt die Energie pro Mode \hbar \omega / exp(\hbar \omega /kT) -1
und erhaelt das Plancksche Strahlungsgesetz
\rho = \hbar \omega^3 /(\pi^2 c^3) 1/(exp(\hbar \omega /kT) -1)
Man kann dann natuerlich noch auf Wellenlaengen oder Frequenzen
umrechnen wie's beliebt, und statt der Energiedichte lieber
Strahlungsleistungen etc ausrechnen. (Da kuemmer ich mich dann
demnaechst drum)
Fragen:
1. Warum sollen alle die n_i positiv sein? Laesst man negative Werte zu
dreht sich doch nur die Ausbreitungsrichtung um. Vielleicht hab ich das
Zaehlen noch nicht so ganz verinnerlicht. Auffaellig wirds vor allem
dann wenn man statt ueber den Winkel zu integrieren sich fuer alle
Wellen interessiert die in ein bestimmtes Raumwinkelement fallen um dann
gleich auf die spektrale Strahldichte statt auf die Energiedichte zu
kommen. (vgl
http://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_plancksches_Strahlungsgesetz)
2. Warum nimmt man ueberhaupt an die Waende seien verspiegelt (gut
leitend)? Das Wesen des schwarzen Strahlers besteht doch darin alle
Strahlung zu absorbieren und gemaess seiner Temperatur wieder zu
emmitieren. Mit Spiegeln erreicht man doch kein thermisches
Gleichgewicht? Ich meine auch irgendwo (finds nicht wieder) gelesen zu
haben, dass man aus thermodynamischen Gruenden das Volumen auch durch
"schwarze" Waende unterteilen koenne, ohne dass sich an den
Verhaeltnissen etwas aendert. Was also: schwarz oder verspiegelt?
3. Welche Rolle spielt die Form des Hohlraums? Es gibt da
allerorten nebuloese Andeutungen die Form spiele keine Rolle, es
gebe aber Randeffekte die vernachlaessigbar seien. In einem Zylinder
erhaelt man dann irgendwelche Besselfunktionen als Loesungen der
Maxwellgleichungen. Welche Eigenschft dieser Funktionen fuehrt dann
am Ende wieder auf sowas wie k_x L_x = n_x \pi?
angeschaut und konnte dabei ein paar Unklarheiten nicht ganz
ausraeumen. Dabei geht es mir primaer um den Teil der mit klassischer
Elektrodynamik die Modendichte im Hohlraum berechnet, die man dann
klassisch mit kT gewichtet um das Rayleigh-Jeans-Gesetz zu erhalten
oder eben mit der Bose-Verteilung zum Planckschen Strahlungsgesetz.
Zwecks gemeinsamer Sprache fasse ich mal so zusammen was man in
diversen Quellen findet (Greiner, Haken Wolf etc):
Wir gehen zunaechst von einem quaderfoermigen Hohlraum aus, dessen
Waende aus gut leitendem Material bestehen, sodass das Feld am
Rand verschwindet. Er habe die Abmessungen L_x, L_y und L_z und
damit das Volumen V = L_x L_y L_z. Die Bedingung, dass das Feld am
Rand verschwindet erfordert, dass halbe Wellenlaengen in den Kasten
passen. Mit den Komponenten des Wellenvektors formuliert, damit auch
schraeg laufende Wellen erfasst werden, lautet die Bedingung dann:
k_x L_x = n_x \pi
und analog fuer die anderen Komponenten. Aus den n_i basteln wir dann
den n-Raum der zum Abzaehlen dient. Ist die Ausdehnung des Volumens gross
gegen typische Wellenlaengen, kann man diese als kontinuierlich verteilt
annehmen und fuer die differentiellen Intervalle gilt
dk_x L_x = dn_x \pi
und analog fuer die anderen Komponenten. Damit wird das Volumenelent im
k-Raum
d^3k = dk_x dk_y dk_z = \pi^3 /V d^3n
Um vom Volumenelement d^3n auf die Zahl der Moden dN zu kommen gehen wir
zu Kugelkoordinaten ueber und integrieren ueber die Winkelanteile. Dabei
muss folgendes beachtet werden: Die n_i sind allesamt positiv, deshalb
ist der volle Winkel nicht 4 \pi sondern nur ein achtel davon also \pi /2.
Andererseits gibt es zu jedem n zwei solcher Wellen mit
unterschiedlicher Polarisation damit wird
dN = \pi n^2 dn = V/\pi^2 k^2 dk = V/(\pi^2 c^3) \omega^2 \domega.
Hat jeder dieser Moden die Energie kT erhaelt man fuer die Energiedichte
(Energie pro Volumen V und Kreisfrequenzintervall d\omega)
\rho = kT \omega^2 / (\pi^2 c^3)
Oder man setzt die Energie pro Mode \hbar \omega / exp(\hbar \omega /kT) -1
und erhaelt das Plancksche Strahlungsgesetz
\rho = \hbar \omega^3 /(\pi^2 c^3) 1/(exp(\hbar \omega /kT) -1)
Man kann dann natuerlich noch auf Wellenlaengen oder Frequenzen
umrechnen wie's beliebt, und statt der Energiedichte lieber
Strahlungsleistungen etc ausrechnen. (Da kuemmer ich mich dann
demnaechst drum)
Fragen:
1. Warum sollen alle die n_i positiv sein? Laesst man negative Werte zu
dreht sich doch nur die Ausbreitungsrichtung um. Vielleicht hab ich das
Zaehlen noch nicht so ganz verinnerlicht. Auffaellig wirds vor allem
dann wenn man statt ueber den Winkel zu integrieren sich fuer alle
Wellen interessiert die in ein bestimmtes Raumwinkelement fallen um dann
gleich auf die spektrale Strahldichte statt auf die Energiedichte zu
kommen. (vgl
http://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_plancksches_Strahlungsgesetz)
2. Warum nimmt man ueberhaupt an die Waende seien verspiegelt (gut
leitend)? Das Wesen des schwarzen Strahlers besteht doch darin alle
Strahlung zu absorbieren und gemaess seiner Temperatur wieder zu
emmitieren. Mit Spiegeln erreicht man doch kein thermisches
Gleichgewicht? Ich meine auch irgendwo (finds nicht wieder) gelesen zu
haben, dass man aus thermodynamischen Gruenden das Volumen auch durch
"schwarze" Waende unterteilen koenne, ohne dass sich an den
Verhaeltnissen etwas aendert. Was also: schwarz oder verspiegelt?
3. Welche Rolle spielt die Form des Hohlraums? Es gibt da
allerorten nebuloese Andeutungen die Form spiele keine Rolle, es
gebe aber Randeffekte die vernachlaessigbar seien. In einem Zylinder
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am Ende wieder auf sowas wie k_x L_x = n_x \pi?
--
J. Dollinger Uni Ulm | ***@irc | http://zeitnot.home.pages.de
What did you do to the cat? It looks half-dead. -Schroedinger's wife
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