Post by Patrick ReineckeHallo Leute,
Das Hamilton Prinzip sagt aus, daß die wirklich vom System durchlaufene
Bahnkurve gegenüber anderen denkbaren Kurven dadurch ausgezeichnet ist, daß
das Wirkungsintegral einen Extremwert -meistens ein Minimum- annimmt.
Was bedeutet es aber, wenn das Wirkungsintegral tatsächlich ein Maximum
annimmt.
Das würde in der Newtonschen Mechanik bedeuten, dass zwischen zwei
Punkten, die zu festen Zeiten durchlaufen werden sollen, eine längste
Bahn existiert, die man durch Umwege und Erhöhung der Geschwindigkeit
nicht noch länger machen könnte. Im Gegensatz zum Minimum ist das ohne
Nebenbedingungen nicht machbar.
Dagegen ist in der SRT mit Wirkungsintegral=Zeitabstand > 0 positiv die
Lösung die der längsten Eigenzeit=maximaler Wirkung. Dort kann man durch
lichtschnelle Zickzack-Bewegung die Eigenzeit immer auf 0 drücken.
Ein instruktives Beispiele der klassischen Mechaik betrifft die freie
Bewegung auf der Kugeloberfläche. Die kürzere Geodäte ist die Bahn
minimaler Wirkung, die hinten um die Kugel herum hat zwar mehr Wirkung,
aber nicht die maximale, man kann beide Bahnen beliebig verlängern.
Beide Bahnen sind stationär in der Wirkung in dem bekannten Sinn, dass
die Variation dx(t) in der Umgebung der beiden Geeodäten nur quadratisch
ins Wirkungsintegral eingeht.
Das zweite Beispiel sind geschlossene Bahnen im Orbit gleicher Laufzeit.
Jede Bahn des freien Falls, die nach 90 Minuten wieder durch den
Startpunkt einer Kreisbahn gleicher Umlaufszeit geht, hat stationäre
Wirkung.
Dazu gehören alle um diesen Punkt gedrehte Bahnen gleicher
Startgeschwindigkeit (Erde punktförmig), also alle Ellipsen gleicher
Energie und großer Halbachse.
Hinzu kommen noch die Abschnitte Halbgeraden des senkrechten Wurfs mit
90 min Wiederkehrzeit.
Da die Hamiltonfunktion H=T+V=E mit 2T=pv bei konservativen Problemen
erhalten ist, kann man die Wirkung als
W
= int_0^T dt (1/2 < p v > - V)
= - T E + int_0^T dt < p, v>
= <p x>|_0^T - T E - int_0^T dt <x , K>
schreiben. Die Wirkung/Umlaufszeit ist für Lösungen der
Bewegungsgleichungen für geschlossene periodische Bahnen gegebener
Energie abhängig vom Mittelwert des Virials <Kraft,radius>.
Das Virial ist bei Kreisbahnen 0, bei Ellipsenbahnen negativ. Unter den
Ellipsenbahnen konstanter Energie ist die Kreisbahn ein Minimum von W.
Natürlich hat eine Kreisbahn von 1m Durchmesser in konstanter Höhe und
90 min Umlaufszeit eine noch geringere Wirkung, die Wirkung ist aber
nicht stationär bezüglich Variationen delta x.
In Wahrheit sagt das Hamiltonsche Prinzip etwas ganz anderes: Sehr
schnelle Teilchen sind fast frei. Für sehr kurze Zeiten sind alle
Teilchen fast frei. Die Bahn wird nach Bernoulli/Euler/Lagrange/Peano
aus kurzen freien Geodäten zusammengesetzt, deren Knicke von
Impulsüberträgen dt K bewirkt werden.
Darum macht man die partielle Integration im Variationsintegral und
besorgt sich mit Euler/Lagrange oder Hamilton die
Differentialgleichungen.
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Roland Franzius