Post by r***@icqmail.comHi,
die Frage die mich beschäftigt ist, wie bei einer homogen geladenen
rotierenden Kugel,
metallisch oder nicht, das E-Feld aussieht. Bei dem B-Feld hab' ich's
magnetisches Dipolfeld. Wenn ich mich auf die Ladungen setze sehe ich
nur ein E-Feld,
im Laborsystem, in dem die Kugel rotiert, dann ein B-Feld und ein
elektrisches Feld, denke
ich. Ist das Feld gleich dem Feld einer homogen geladenen Kugel, die
sich nicht rotiert?
Also fällt mit 1/r^2 oder kommen noch Modifikationen hinzu?
Drei Fälle.
Der einfachste, die rotierende supraleitende geladene Kugel. Da das
resultierende Magentfeld tangential, !0 und stetig an der
Kugeloberfläche anliegen muß, gibt es das nicht: Die Ladung rotiert
nicht mit. Das ist der berühmte Satz, dass eine supraleitende Kugel
keinen Strom tragen kann, weil sie Genus 0 hat.
Der nächste Fall ist die rotierende, homogen geladene dielektrische
Kugel. Da für omega =0 die Feldstärke nicht konstant ist, erzeugt E ein
radiusabhängiges D und eine radiale Polarisation. D.h. die
Ladungskompensation der Ionen und Elektronen ist nicht vollständig, die
positiven und negativen Ladungen bewegen zusätzlich zur statischen
Ladung bei der Rotationsbewegung einen Polarisationsstrom, da die
Geschwindigkeiten der Gitterbestandteile und Elektronen auf etwas
verschiedenen Radien nicht ganz gleich sind. Wenn mich mein Gefühl nicht
täuscht, müßte der durch die Drehung bewirkte Polarsationsstrom von der
Form sein
j (A/m)= r omega x P (As/m^2 )
Zusätzlich zu der rotierenden Überschußladung erfordert die
relativistische Invarianz eben die Berücksichtigung des
Verschiebungsstroms bei nichtfestem Körperbezugssystem, wie schon
Maxwell erkannt hat, obwohl er die in seiner Theorie verborgene
Relativitätstheorie noch nicht erkennen konnte.
Der dritte und verwickelteste Fall ist der Fall einer Kugel mit
endlicher Leitfähigkeit, da hier die die Zeitabhängigkeit explizit
betrachtet werden muss.
Es sind die Integrale über die Energiedichten der Felder E^2 und B^2
außerhalb der Kugel zu minimieren, E,B,D,H mit den Materialgleichungen
und Oberflächenanschlußbedingungen ins Innere mit exponentiellem Abfall
fortzusetzen und im Innern die Leitfähigkeitsgleichung für die freien
Ladungen j=sigma E ist zu erfüllen.
Da eine tangentiale zeitunabhängige E-Form
E = E_phi(r,theta) dt/\dphi
offenbar nichtverschwindende Rotation
dE ~ a dt/\dr/\dphi + b dt/\theta/\dphi
besitzt, müßte in diesem Fall B zeitabhängig sein. Also ist ein
stromantreibendenes geschlossenes E-Feld nur kurzzeitig möglich, bis ein
existierender Strom relativ zum körperfesten System per Dissipation
ausgestorben ist.
Damit bleibt als klassische äußere Lösung zunächst in 0-ter Näherung das
Coulombfeld der Ladung und der Strom dieser Ladung, den die Drehung der
leitenden Kugeloberfläche mit körperfest ruhenden Ladungen verursacht.
Das wär außen das Coulombfeld der Gleichverteilung auf der Kugel
rho = Q/(4pi R^2) dR/\ R dtheta/\ R sin(theta)dphi,
innen mit exponentiellem Abfall in der geladenen Skinschicht und das
magnetische Dipolfeld dieser rotierenden Stromverteilung bei Ersetzung
dphi->dphi+omega dt
*j = Q/4pi R2 omega dR /\ R dtheta /\ R sin (theta) (dphi+omega dt)
Nun muß nur noch geprüft werden, ob die Beschleunigung der Ladungen im
Magnetfeld orthogonal auf der Kugeloberfläche steht.
Da die Geschwindigkeit tangential zur Oberfläche ist, das Dipolfeld aber
eine zur Oberfläche senkrechte Komponente besitzt, resultiert eine
Komponente der Lorentzkraft tangential an den Meridian, die die Ladungen
in Richtung Pol zieht, wo sie weniger Magnetfeld machen.
Das Problem ist also so mit konstanter Flächenladungsdichte, rein
radialem elektrischen Feld und magnetischem Dipolfeld nicht geschlossen
gelöst. Das ist analog zum Pincheffekt, wo das eigene Magnetfeld die
Ströme in die Mitte des Leiters zusammenschnürt oder zum Halleffekt, wo
der Strom im zur Oberfläche senkrechten Magnetfeld eine Querspannung
erzeugt. Man kann analog zur Stromdefinition auch von der
Anziehungskraft zwischen parallelen Strömen ausgehen.
Wie im Fall des Polarisationsfeldes bewirkt auch hier die tangentiale
Magnetfeldkomponente in der leitenden Schicht eine Polarisation der
positiven und negativen Ladungsschichten.
Schließlich ist bei der ganzen Rechnung noch vernachlässigt, wie die
Lorentztransformation der bewegten Ladungsdichten deren absolute Größen
ändert, diese Korrekturen sind dann aber von der Größenordung
1+-R^2 omega^2/c^2
und beschreiben die relativistische Änderung Zeit->Eigenzeit bei der
Berechnung von Beschleunigung im bewegten System.
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Roland Franzius