Normalkoordinaten, DGL entkoppeln

[Sebastian Altorfer]

Hi liebe NG!

Ich habe ein kleines Problem.
Ich verstehe nicht genau, was es mit diesen Normalkoodrdinaten auf sich hat,
die man anscheinend braucht, um DGL zu enkoppeln. (Falls man es _nicht_ in
Matrixdarstellung rechnet)

Ich habe auch ein kleines Beispiel, zwei durch eine Feder gekoppelte
Federpendel mit einem Freiheitsgrad. Vereinfachungen: Alle Massen der
Schwinger sind identisch = m, alle Federkonstanten ebenfalls. x1 ist die
Auslenkung in positiver Richtung aus der Ruhelage von m1, analog dazu x2.
Die DGL sind :

(1) x1'' = - ( f / m )*x1 - ( f / m )*( x1-x2 )
(2) x2'' = - ( f / m )*x2 + ( f /m )*( x2 - x1 )

Was sind nun die geeigneten Normalkoordinaten? Für was "stehen sie" ? Wie
kann ich das neue Koordinatensystem skizzieren/verstehen? Und vA. : Wie
helfen mir diese Normalkoordinaten beim enkoppeln? Weitergehenden
Zusammenänge zu den Eigenvektoren bitte zuerst einmal aussen vor lassen, ich
muss zuerst mal die Grundlagen verstehen ;-) .

mfg
Sebi

[Hendrik van Hees]

Post by Sebastian Altorfer
Ich habe auch ein kleines Beispiel, zwei durch eine Feder gekoppelte
Federpendel mit einem Freiheitsgrad. Vereinfachungen: Alle Massen der
Schwinger sind identisch = m, alle Federkonstanten ebenfalls. x1 ist
die Auslenkung in positiver Richtung aus der Ruhelage von m1, analog
(1) x1'' = - ( f / m )*x1 - ( f / m )*( x1-x2 )
(2) x2'' = - ( f / m )*x2 + ( f /m )*( x2 - x1 )
Was sind nun die geeigneten Normalkoordinaten? Für was "stehen sie" ?
Wie kann ich das neue Koordinatensystem skizzieren/verstehen? Und vA.
: Wie helfen mir diese Normalkoordinaten beim enkoppeln?
Weitergehenden Zusammenänge zu den Eigenvektoren bitte zuerst einmal
aussen vor lassen, ich muss zuerst mal die Grundlagen verstehen ;-) .

Hier machst Du Dir das Leben unnötig schwer. Was Du ja vor Dir hast, ist
ein homogenes System linearer DGLn zweiter Ordnung. Es besitzt die
Gestalt

d_t^2 (x1,x2)^t=-M (x1,x2)^t

Dabei ist (x1,x2)^t der Spaltenvektor mit den beiden Variablen als
Einträge und M die Matrix.

Die Normalvektoren sind die Eigenvektoren dieser Matrix. Wir nehmen mal
an, wir hätten hier den einfachen Fall vorliegen, daß sich M
diagonalisieren läßt, d.h. es gibt eine Matrix T, so daß

D=T M T^{-1}

diagonal ist. Ich nehme an, Du weißt wie man Eigenwerte und Trafomatrix
bestimmt. Gesetzt den Fall, Du hättest das getan, schreiben wir
zunächst mal die Gleichung oben anders hin. Ich setze hinfort als
Abkürzung x=(x1,x2)^t, d.h. wir haben

d_t^2 x=-M x=-T D T^{-1} x

Das von links mit T^{-1} multipliziert gibt mit y=T^{-1} x

d_t^2 y=-D y,

und Du kannst die allgemeine Lösung sofort hinschreiben, weil ja D eine
Diagonalmatrix ist.

Weiter ist dann

x=T y

die allgemeine Lösung des ursprünglichen Problems.

Wenn M nicht diagonalisierbar ist, ist die Sache auch lösbar. Dann gibt
es allerdings nur eine Jordansche Normalform, und man muß neue
Überlegungen anstellen, auf die aber erst mal nicht näher eingehen
will.

[Sebastian Altorfer]

Danke für die Tipps, doch wir sollen in diesem Teil der Aufgabe ja gerade
mit Normalkoordinaten hantieren! Die Matrix Darstellung kommt erst später.
Bei den Tipps wurde gesagt:

u1 = x1+x2
u2 = x1-x2

Nur wie kommt man darauf und für was stehen die neuen Koordinaten, wenn ich
sie skizzieren wollte?

mfg

[Hendrik van Hees]

Post by Sebastian Altorfer
Danke für die Tipps, doch wir sollen in diesem Teil der Aufgabe ja gerade
mit Normalkoordinaten hantieren! Die Matrix Darstellung kommt erst später.
u1 = x1+x2
u2 = x1-x2
Nur wie kommt man darauf und für was stehen die neuen Koordinaten, wenn
ich sie skizzieren wollte?

Ich verstehe dann die Aufgabenstellung nicht. Die Normalkoordinaten sind
doch gerade die Eigenvektoren von M, was sonst?

Normalkoordinaten sind immer die zu den Eigenfrequenzen gehörigen
Schwingungsmoden.

[Sebastian Altorfer]

Normalschwingungen? Schwingungsmoden? Sorry, so weit sind wir noch nicht,
die Aufgabe soll uns wohl aber beim Verständnis helfen. Hier der Link zur
Uebungsserie http://www.phys.ethz.ch/~haiml/ss04/Uebung06.pdf
Bitte nicht die Lösung angeben, ich will ja auch noch was zu tun haben.

mfg

[Oliver Jennrich]

Post by Sebastian Altorfer
Hi liebe NG!
Ich habe ein kleines Problem.
Ich verstehe nicht genau, was es mit diesen Normalkoodrdinaten auf sich hat,
die man anscheinend braucht, um DGL zu enkoppeln. (Falls man es _nicht_ in
Matrixdarstellung rechnet)

Hendirk hat es schon gesagt - Dies nicht zu tun ist eigenwillig.

Post by Sebastian Altorfer
Ich habe auch ein kleines Beispiel, zwei durch eine Feder gekoppelte
Federpendel mit einem Freiheitsgrad. Vereinfachungen: Alle Massen der
Schwinger sind identisch = m, alle Federkonstanten ebenfalls. x1 ist die
Auslenkung in positiver Richtung aus der Ruhelage von m1, analog dazu x2.
(1) x1'' = - ( f / m )*x1 - ( f / m )*( x1-x2 )
(2) x2'' = - ( f / m )*x2 + ( f /m )*( x2 - x1 )

Hm. Bin ich der einzige, der die Bewegungsgleichungen nicht versteht?

L = 1/2*m*v1^2 + 1/2*m*v2^2 - 1/2*(f/m)*(x1-x2)^2

(1) x1''= f/m*(x1-x2)
(2) x2''= -f/m*(x1-x2)

Die rücktreibende Kraft ist die Spannkraft der Feder und die hängt nur
von dem Abstand der Massen ab, nicht von deren absoluten Positionen.

Post by Sebastian Altorfer
Was sind nun die geeigneten Normalkoordinaten?

In Normalkoordinaten entkoppeln die Gleichungen, d.h. mit zwei
Koordinaten u=f(x1,x2) und v=g(x1,x2) schreiben sich die DGL dann als

u'' = a*u
v'' = b*v

für geeignete a und b.

In diesem Fall schaut man einmal scharf hin und bemerkt, daß eine
Addition von (1) und (2)

(x1+x2)''= 0
(x1-x2)''=2f/m*(x1-x2)

ist. Also setzen wir u=x1+x2 und v=x1-x2 und erhalten eben

u'' = 0
v'' = 2f/m*v

Post by Sebastian Altorfer
Für was "stehen sie" ?

Ja, für was wohl. Die Koordinatendifferenz v bezeichnet man gemeinhin
als den *Abstand*, die Koordinatensumme u ist im wesentlichen der
Schwerpunkt. Und damit ist man wieder bei der Physik: Auf das System
wirken keine äußeren Kräfte, als *muß* für die Schwerpunktskoordinate
stets u''=0 gelten. Damit ist die Schwerpunktskoordinate immer eine
Normalkoordinate.

Post by Sebastian Altorfer
Wie kann ich das neue Koordinatensystem skizzieren/verstehen? Und
vA. : Wie helfen mir diese Normalkoordinaten beim enkoppeln?

Sie tun es einfach. Per Definition sind Normalkoordinaten diejenigen,
in denen ein DGL-System entkoppelt.

[Hendrik van Hees]

Post by Oliver Jennrich
Hm. Bin ich der einzige, der die Bewegungsgleichungen nicht versteht?

Ich habe die Bewegungsgleichungen gar nicht so scharf angeguckt. Mir
genügte für die Antwort, daß sie linear sind.

Post by Oliver Jennrich
L = 1/2*m*v1^2 + 1/2*m*v2^2 - 1/2*(f/m)*(x1-x2)^2
(1) x1''= f/m*(x1-x2)
(2) x2''= -f/m*(x1-x2)

Das entspricht imho nicht ganz dem Übungsblatt. Da ist es etwas
komplizierter. Natürlich muß man, wie Du es auch tust, das Hookesche
Gesetz anwenden, was dann zu obigem quadratischen Lagrangian führt,
wenn f_1=f_2=f_{12}=f ist.

BTW: Das ist ja ein typographisch grausamer Übungszettel, hoffentlich
nimmt sich den keiner der Studis zum Beispiel. Das sieht verdächtig
nach Word aus. Ist wohl ein Exizettel?

[Sebastian Altorfer]

Was bedeutet "Exizettel" ? Ob es Word ist oder nicht, kann ich nicht sagen.

mfg

[Lukas-Fabian Moser]

Hallo,

On Fri, 7 May 2004 18:20:54 +0200, "Sebastian Altorfer"

Post by Sebastian Altorfer
Was bedeutet "Exizettel" ? Ob es Word ist oder nicht, kann ich nicht sagen.

Hendrik spielt vermutlich darauf an, daß der Umgang von "Exis"
(Experimentalphysikern) mit den theoretischen Methoden für einen
theoretischen Physiker bisweilen recht unsystematisch und inkonsequent
wirkt. Wobei ich als Mathematiker mir natürlich ein wenig auf die
Lippen beißen muß, um nicht hinzuzufügen, daß da ja eigentlich schon
die theoretiken Physiker häufig schlimm genug sind ...

(Zwei Beispiele zur Untermauerung des letzteren: ich habe eine
Vorlesung über theoretische Mechanik gehört, bei der der Professor
stets in etwa folgendermaßen argumentierte: f(x) soll bei x_0 extremal
sein. Also betrachten wir eine Näherung und entwickeln f(x) in seine
Taylorreihe, also f(x) = f(x_0) + (x-x_h) f'(x_0) + ... . Eine lineare
Funktion hat aber nirgends ein Extremum, also muß der zweite Term
verschwinden und folglich f'(x_0) = 0 sein.

Ein andermal tauchte in einer Vorlesung über Quantenmechanik das
Problem auf, die Lösungen der Funktionalgleichung f(x + a) = e^c *
f(x) mit Konstanten c und a > 0 anzugeben. Anstatt aber nun einmal
hinzugucken und zu bemerken, daß einerseits f_0(x) = e^(c * x/a) eine
Lösung dieser Gleichung ist und andererseits eine Funktion genau dann
die Gleichung löst, wenn f/f_0 die Periode a besitzt, erklärte der
Professor: die Lösung des Problems sei in einem ihm bekannten Lehrbuch
als "offensichtlich" bezeichnet, und er wisse, wie sehr es Studenten
frustriere, daß solche Dinge in Lehrbüchern als simpel abgetan, aber
nicht vorgeführt würden. Darum wolle er uns nun einmal vorführen, wie
man auf diese Lösung komme - und fing dann an, etwa eine halbe Stunde
lang die Tafel zu füllen mit unendlich oft durchgeführten partiellen
Integrationen, irgendwelchen Delta"funktionen" und sicher auch
Fouriertransformationen [da müßte ich allerdings in meinem Skript
nachgucken], um dann am Schluß zu verkünden, die Lösung sei "eine
spezielle Lösung mal einer beliebigen Fourierreihe mit Periode a".)

Grüße, Lukas

[Roland Franzius]

Post by Lukas-Fabian Moser
Hallo,
On Fri, 7 May 2004 18:20:54 +0200, "Sebastian Altorfer"

Post by Sebastian Altorfer
Was bedeutet "Exizettel" ? Ob es Word ist oder nicht, kann ich nicht sagen.

Hendrik spielt vermutlich darauf an, daß der Umgang von "Exis"
(Experimentalphysikern) mit den theoretischen Methoden für einen
theoretischen Physiker bisweilen recht unsystematisch und inkonsequent
wirkt. Wobei ich als Mathematiker mir natürlich ein wenig auf die
Lippen beißen muß, um nicht hinzuzufügen, daß da ja eigentlich schon
die theoretiken Physiker häufig schlimm genug sind ...
(Zwei Beispiele zur Untermauerung des letzteren: ich habe eine
Vorlesung über theoretische Mechanik gehört, bei der der Professor
stets in etwa folgendermaßen argumentierte: f(x) soll bei x_0 extremal
sein. Also betrachten wir eine Näherung und entwickeln f(x) in seine
Taylorreihe, also f(x) = f(x_0) + (x-x_h) f'(x_0) + ... . Eine lineare
Funktion hat aber nirgends ein Extremum, also muß der zweite Term
verschwinden und folglich f'(x_0) = 0 sein.

Du sprichst ein ziemlich heikles Problem an. Die meisten Berufungen für
Theoretiker werden von Experimentalphysikern gemanagt. Was ist da zu
erwarten?

Wichtig an deutschen physikalischen Fachbereichen ist, etwas ohne
Mathematik erklären zu können. Was ich nicht einmal vom Grundsatz her
ablehne. Man sollte aber für jeden Fall auch mit mathematischen
Grundkenntnissen vertraut gemacht worden sein.

[Sebastian Altorfer]

Nun unsere ProfessorIN ist schon eher der pragmatisch/experimentierfreudige
Typ ( Auf die äusserlichen Merkmale dieses Typs will ich hier gar nicht
eingehen ;-) ). Nun ja im ersten Semester Technische Mechanik wurden uns
auch einfach DGL um die Ohren geworfen. Tech.Mech. Prof. dazu:
"Es ist ja irgendwie anschaulich, wil sin und cos ja zueinander auch durch
Ableitungen in Beziehung stehen. Ach, das Omega? Das ist einfach die
Kreisfrequenz, weil es eine dimensionslose Grösse ist" ... Nunja... Aber ich
musste mich generell daran gewöhnen, dass man die eigentlichen Grundlagen
immer erst "viel später" haben wird ... Ob das nun ein Transistor, eine
Diode, oder die DGL sind (die haben wir aber mittlerweile durchgenommen).

Ich wünsche noch einen schönen Abend!
mfg
Sebi

[Hendrik van Hees]

Post by Lukas-Fabian Moser
Hallo,
On Fri, 7 May 2004 18:20:54 +0200, "Sebastian Altorfer"

Post by Sebastian Altorfer
Was bedeutet "Exizettel" ? Ob es Word ist oder nicht, kann ich nicht sagen.

Hendrik spielt vermutlich darauf an, daß der Umgang von "Exis"
(Experimentalphysikern) mit den theoretischen Methoden für einen
theoretischen Physiker bisweilen recht unsystematisch und inkonsequent
wirkt. Wobei ich als Mathematiker mir natürlich ein wenig auf die
Lippen beißen muß, um nicht hinzuzufügen, daß da ja eigentlich schon
die theoretiken Physiker häufig schlimm genug sind ...

Das meinte ich gar nicht. Ich denke von der Aufgabenstellung ist der
Zettel schon wohldefiniert und ok, aber ich hatte die Exis im Verdacht,
weil die vornehmlich Word verwenden, Theoretiker (zum Glück) seltener.

Andererseits kann's aber doch kein Word gewesen sein, denn wie hätten
sie dann den Zettel erstellen sollen, wo doch Windoof wieder mal
exzellent vorgeführt wurde. Da kann schon mal ein 18jähriger Schüler
die Küstenwache von England lahmlegen und Flugzeuge am Start hindern,
alles dank eines gewissen Codes aus Redmond. Natürlich gehört er
bestraft, daß er solchen Unfug nicht nochmal macht, aber das ist ein
weites Feld und OT.

[Oliver Jennrich]

Post by Hendrik van Hees

Post by Lukas-Fabian Moser
Hallo,
On Fri, 7 May 2004 18:20:54 +0200, "Sebastian Altorfer"

Post by Sebastian Altorfer
Was bedeutet "Exizettel" ? Ob es Word ist oder nicht, kann ich nicht sagen.

Hendrik spielt vermutlich darauf an, daß der Umgang von "Exis"
(Experimentalphysikern) mit den theoretischen Methoden für einen
theoretischen Physiker bisweilen recht unsystematisch und inkonsequent
wirkt. Wobei ich als Mathematiker mir natürlich ein wenig auf die
Lippen beißen muß, um nicht hinzuzufügen, daß da ja eigentlich schon
die theoretiken Physiker häufig schlimm genug sind ...

Das meinte ich gar nicht. Ich denke von der Aufgabenstellung ist der
Zettel schon wohldefiniert und ok, aber ich hatte die Exis im Verdacht,
weil die vornehmlich Word verwenden, Theoretiker (zum Glück) seltener.

Was ein Bullshit. Sämtliche großen Zeitschriften verlangen LaTeX als
Format für Veröffentlichungen - warum sollte sich ein
Experimentalphysiker die Mühe machen, etwas einmal in Word zu
schreiben und dann nochmal in LaTeX?

Aber wenn es deinem zunehmend eigenartigen Weltbild dient - wir haben
auch fliehende Stirne und deutlich vorspringende Augenbrauenwülste.

[Hendrik van Hees]

Post by Oliver Jennrich
Was ein Bullshit. Sämtliche großen Zeitschriften verlangen LaTeX als
Format für Veröffentlichungen - warum sollte sich ein
Experimentalphysiker die Mühe machen, etwas einmal in Word zu
schreiben und dann nochmal in LaTeX?

Täusch' Dich nicht! Es gibt genügend Zeitschriften, die auch Word
annehmen. Warum sie sich das antun? Frag' mich nicht. Z.B. die APS
Journals (Phys. Rev.). Die bieten gar ein eigenes Template für
Wordbenutzer an.

Post by Oliver Jennrich
Aber wenn es deinem zunehmend eigenartigen Weltbild dient - wir haben
auch fliehende Stirne und deutlich vorspringende Augenbrauenwülste.

Na, so schlimm ist's doch auch wieder nicht ;-)).

[Sebastian Altorfer]

Danke für die vielen Tipps! Nur verstehe ich deinen leicht "angepissten"
Tonfall nicht ganz. Ich bin erst im 2. Semester, Physik ist in unserem
Studiengang ein "Aussortierungsfach" und ich versuche bloss die Aufgaben zu
lösen. Wenn ich das schon alles wüsste, was müsste ich dann noch studieren?
Warum hast du die Rückstellkraft der "Wandfedern" aus den Gleichungen
genommen?
Zum Thema Schwerpunktskoordinate: Hatten wir auch noch nicht, trotzdem ist
jetzt meine Neugier geweckt, sie erfährt keine Beschleunigung, weil die
Summe der äusseren Kräfte = 0 ist und mit der Bewegungsgleichung vom
Schwerpunkt ergibt sich eine Beschleunigung von 0, korrekt?.

mfg
Sebi

[Hendrik van Hees]

Post by Sebastian Altorfer
Danke für die vielen Tipps! Nur verstehe ich deinen leicht
"angepissten" Tonfall nicht ganz. Ich bin erst im 2. Semester, Physik
ist in unserem Studiengang ein "Aussortierungsfach" und ich versuche
bloss die Aufgaben zu lösen. Wenn ich das schon alles wüsste, was
müsste ich dann noch studieren? Warum hast du die Rückstellkraft der
"Wandfedern" aus den Gleichungen genommen?
Zum Thema Schwerpunktskoordinate: Hatten wir auch noch nicht, trotzdem
ist jetzt meine Neugier geweckt, sie erfährt keine Beschleunigung,
weil die Summe der äusseren Kräfte = 0 ist und mit der
Bewegungsgleichung vom Schwerpunkt ergibt sich eine Beschleunigung von
0, korrekt?.

Ich hoffe, Du fühlst Dich durch meinen Tonfall nicht "angepißt", das war
nicht meine Absicht. Ich erledige meine menschlichen Bedürfnisse i.a.
auch an den dort vorgesehenen Plätzen ;-)).

Back to physics. Schade, daß Du es als Aussortierfach siehst und nicht
einfach Spaß daran hast. Physik macht großen Spaß, wenn man sich mal
auf sie einläßt. Ohne diesen Spaß an der Sache wären die Physiker nicht
als "frustrationstolerant" bekannt und geschäzt.

Zu Deiner Aufgabe. Ich beziehe mich auf den Aufgabenzettel.

http://www.phys.ethz.ch/~haiml/ss04/Uebung06.pdf

Es ist nur so, daß ich eigentlich etwas davor zurückscheue, weil die
Lösungen ja noch ausstehen. Hier also nur meine Ideen zur Aufstellung
der Bewegungsgleichungen. Ich versuche es mal ohne Lagrangeformalismus,
der vielleicht auch noch nicht dran war (kommt i.a. im 3. Semester in
der Theorie I, nicht schon im 2. Semester dran):

m_1 d_t^2 x_1=-f_1 x_1-f_{12}(x_1-x_2)
m_2 d_t^2 x_2=-f_{12} (x_2-x_1)-f_2 x_2

Ich komme da auf etwas andere Vorzeichen als in Deinem Originalposting.

Zum Überprüfen jetzt also nochmal mit Lagrangeformalismus

V(x)=f_1/2 x_1^2 + f_{12}/2 (x1-x2)^2 + f_2/2 x_2^2

Dann folgt

m_1 d_t^2 x_1 = -\partial_{x_1} V=-f1 x_1 - f_{12}(x_1-x_2)
m_2 d_t^2 x_2 = -\partial_{x_2} V=-f_{12} (x_2-x_1) - f_2 x_2,

was mit dem obigen Gls. übereinstimmt.

Für den Spezialfall m1=m2=m und f1=f_{12}=f_2 ist also

d_t^2 x_1 = f/m (-2 x_1+x_2)
d_t^2 x_2 = f/m (-2 x_2+x_1)

Wie man die jetzt ohne Diagonalisieren der Matrix, wie in meiner ersten
Antwort beschrieben, lösen soll, weiß ich aber nicht zu sagen,
zumindest nicht systematisch.

[Sebastian Altorfer]

Ich konnte die Aufgabe nun soweit lösen, dass ich zwei entkoppelte DGL hatte
und die auch auflösen konnte. Doch was ist nun _genau_ der Zusammenhang
Normalschwingungen, und Normalkoordinaten? Wie kommt man darauf, dass zb Xi1
= x1+x2 die Bewegung beider massen in die selbe richtung mit fixem abstand
beschreibt? Ich bin irgendwie sehr verwirrt und wäre um eine
Anfängerfreundliche Antwort dankbar.

mfg

[Hendrik van Hees]

Post by Sebastian Altorfer
Ich konnte die Aufgabe nun soweit lösen, dass ich zwei entkoppelte DGL
hatte und die auch auflösen konnte. Doch was ist nun _genau_ der
Zusammenhang Normalschwingungen, und Normalkoordinaten? Wie kommt man
darauf, dass zb Xi1 = x1+x2 die Bewegung beider massen in die selbe
richtung mit fixem abstand beschreibt? Ich bin irgendwie sehr verwirrt
und wäre um eine Anfängerfreundliche Antwort dankbar.
mfg

Sind wir uns einig, daß die Gleichungen

m_1 d_t^2 x_1=-f_1 x_1-f_{12}(x_1-x_2)
m_2 d_t^2 x_2=-f_{12} (x_2-x_1)-f_2 x_2

bzw. für den Spezialfall, der gelöst werden soll

d_t^2 x_1 = f/m (-2 x_1+x_2)
d_t^2 x_2 = f/m (-2 x_2+x_1)

lauten? Ich hoffe, das stimmt so. Wenn dem so ist, geht's so weiter:

Bei den zweitgenannten Gleichungen führen wir

xi1=x1+x2
xi2=x1-x2

ein.

Addieren bzw. Subtrahieren der beiden Gln. oben ergibt dann

d_t^2 xi1=-om0^2 xi1
d_t^2 xi2=-3 om0^2 xi2

mit om0^2=f/m

Die allgm. Lösungen sind

xi1=A cos(om0 t+phi1)
xi2=B cos(sqrt(3) om0 t+phi2)

Die allgemeine Lösung für die beiden Punkte ist also

x1=1/2 (xi1+xi2)=1/2 [A cos(om0 t+phi1) + B cos(sqrt(3) om0 t+phi2)]
x2=1/2 (xi1-xi2)=1/2 [A cos(om0 t+phi1) - B sin(sqrt(3) om0 t+phi2)]

Normalschwingungen sind nun solche, wenn die Schwingung harmonisch, also
ein reiner Cosinus ist (und keine Überlagerung von zwei Cosinus), also
entweder B=0 oder A=0.

Das bedeutet aber, daß entweder für alle Zeiten xi2=0 (für B=0) oder
xi1=0 (A=0) gilt. Da es sich hier um Summe und Differenz handelt, heißt
das, daß im ersten Falle x1=x2 im zweiten aber x1=-x2 ist.

[Norbert Dragon]

* Sebastian Altorfer schreibt

Post by Sebastian Altorfer
Doch was ist nun _genau_ der Zusammenhang
Normalschwingungen, und Normalkoordinaten?

Gekoppelten Schwingungen vieler Teilchen sieht man normalerweise
die Normalschwingungen nicht an -- man muß sie ausrechnen.
Aber bei einem Teilchen, das mit Federn an eine Ruhelage gekoppelt
ist, haben sie eine einfache Bedeutung:

Die rücktreibende Kraft F ist linear in der Auslenkung x,

F = - k x

dabei ist k eine Matrix. Die Kraft F ist nur in speziellen
x-Richtungen u, eben der Richtung der Normalschwingung,
wieder in Richtung der Auslenkung, also ein Vielfaches von u

k u = Vielfaches von u

Mathematisch ist dies eine Eigenrichtung von k.

Wenn man das Teilchen in solche einer speziellen Richtung auslenkt,
wirkt die Kraft ebenso in diese Richtung und das Teilchen durchläuft
eine Bahn x(t) in dieser Richtung -- so als wäre es nicht an die
anderen Richtungen gekoppelt.

Solch eine Schwingung ist eine Normalschwingung.

Es gibt soviel Normalschwingungen, wie das System Freiheitsgrade hat.

Die allgemeine Lösung der gekoppelten Schwingung läßt sich als Summe
von Normalschwingungen schreiben, dabei sind pro Normalmode die
Amplitude und eine Phase frei wählbar, indem man die Anfangslage und
Anfangsgeschwindigkeit wählt.

[Anselm Proschniewski]

Norbert Dragon wrote:

...

Post by Norbert Dragon
Es gibt soviel Normalschwingungen, wie das System Freiheitsgrade hat.
Die allgemeine Lösung der gekoppelten Schwingung läßt sich als Summe
von Normalschwingungen schreiben, dabei sind pro Normalmode die
Amplitude und eine Phase frei wählbar, indem man die Anfangslage und
Anfangsgeschwindigkeit wählt.

Im Maschinenbau sprechen wir von "Modalkoordinaten" anstatt von
Normalkoordinaten, von "modaler" Dämpfung, und wenn es ins Englische
geht, von den verschiedenen 'modes', den Schwingformen.
Durch die Hauptachsentransformation werden die gekoppelten Schwingungen
entkoppelt, wobei sich die Transformationsmatrix aus den Spaltenvektoren
der Eigenschwingformen zusammensetzt.

Ganz besonders wichtig ist die 'modal truncation': nimmt man nicht alle
der vielen tausend Eigenschwingformen, sondern nur einige wenige, dann
hat die Transformationsmatrix (Modalmatrix) Rechteckform und reduziert
das Gleichungssystem von vielen tausend Freiheitsgraden auf einige
wenige (Anzahl der 'modes'). Das ist zwar eine Näherung, aber für die
praktische Anwendung immer eine gute Näherung.

Anselm aus Stuttgart/Esslingen

[Hendrik van Hees]

Hat denn mal jemand meine Lösung des Spezialfalls auf dem Aufgabenblatt
nachvollzogen? Ich frage mich nämlich immer noch, wieso die eine
Frequenz (Gegeneinanderschwingen der Massen) um den Faktor \sqrt{3}
größer ist gegenüber der anderen Normalmode (Gleichtaktschwingen). Das
müßte sich doch anschaulich verstehen lassen bei einer so symmetrischen
Situation.

[Ralf Kusmierz]

X-No-Archive: Yes

Post by Hendrik van Hees
Hat denn mal jemand meine Lösung des Spezialfalls auf dem Aufgabenblatt
nachvollzogen? Ich frage mich nämlich immer noch, wieso die eine
Frequenz (Gegeneinanderschwingen der Massen) um den Faktor \sqrt{3}
größer ist gegenüber der anderen Normalmode (Gleichtaktschwingen). Das
müßte sich doch anschaulich verstehen lassen bei einer so symmetrischen
Situation.

Aber ja doch: <news:***@uni-berlin.de>.


Gruß aus Bremen
Ralf

[Hendrik van Hees]

Sehr schön, dacht' ich mir doch, daß das auch ohne Rechnung sofort zu
verstehen sein muß :-)).

[Jan C. Hoffmann]

Post by Sebastian Altorfer
Hi liebe NG!
Ich habe ein kleines Problem.
Ich verstehe nicht genau, was es mit diesen Normalkoodrdinaten auf sich hat,
die man anscheinend braucht, um DGL zu enkoppeln. (Falls man es _nicht_ in
Matrixdarstellung rechnet)
Ich habe auch ein kleines Beispiel, zwei durch eine Feder gekoppelte
Federpendel mit einem Freiheitsgrad. Vereinfachungen: Alle Massen der
Schwinger sind identisch = m, alle Federkonstanten ebenfalls. x1 ist die
Auslenkung in positiver Richtung aus der Ruhelage von m1, analog dazu x2.
(1) x1'' = - ( f / m )*x1 - ( f / m )*( x1-x2 )
(2) x2'' = - ( f / m )*x2 + ( f /m )*( x2 - x1 )
Was sind nun die geeigneten Normalkoordinaten? Für was "stehen sie" ? Wie
kann ich das neue Koordinatensystem skizzieren/verstehen? Und vA. : Wie
helfen mir diese Normalkoordinaten beim enkoppeln? Weitergehenden
Zusammenänge zu den Eigenvektoren bitte zuerst einmal aussen vor lassen, ich
muss zuerst mal die Grundlagen verstehen ;-) .

Eine komplette analytische Lösung findest Du in
[] M. Knaebel, Technische Schwingungslehre, Teubner

Numerische Lösung (Beispiel)
http://homepages.compuserve.de/Jan390906/news/z-ng-04-05-09-11.htm

[Ralf Kusmierz]

X-No-Archive: Yes

Post by Sebastian Altorfer
Ich habe auch ein kleines Beispiel, zwei durch eine Feder gekoppelte
Federpendel mit einem Freiheitsgrad. Vereinfachungen: Alle Massen der
Schwinger sind identisch = m, alle Federkonstanten ebenfalls. x1 ist die
Auslenkung in positiver Richtung aus der Ruhelage von m1, analog dazu x2.
Was sind nun die geeigneten Normalkoordinaten? Für was "stehen sie" ? Wie
kann ich das neue Koordinatensystem skizzieren/verstehen? Und vA. : Wie
helfen mir diese Normalkoordinaten beim enkoppeln?

Ist das nun eigentlich geklärt?

Sonst noch einmal veranschaulichend:

Es gibt zwei Schwingungmoden:

1. Beide Kugeln schwingen im Gleichtakt mit konstantem Abstand.
2. Beide Kugeln schwingen im Gegentakt, der Schwerpunkt ruht.

1. Fall (Gleichtakt):
Die Dehnung der Feder zwischen den beiden Kugeln ändert sich während einer
Schwingungsperiode _nicht_, es treten von ihr aus praktisch keine
dynamischen Kräfte auf die Kugeln auf (konstante Kräfte sind
uninteressant). Dann kann man die Feder auch weglassen, jede Kugel bildet
dann also einen Feder-Masse-Schwinger mit der äußeren Feder, wodurch die
Frequenz bestimmt ist.

1. Fall (Gegentakt):
Der Mittelpunkt der Verbindungsfeder (gemeinsamer Schwerpunkt) ruht. Dann
kann man ihn sich also als fixiert vorstellen, von jeder Kugel aus ist die
halbe Feder der äußeren parallel geschaltet, der Rest der Anordnung kann
weggelassen werden. Entsprechend ergibt sich die Frequenz aus der höheren
Federkonstante.

Die tatsächlich auftretende Schwingung ist eine Überlagerung aus beiden
Anteilen.


Gruß aus Bremen
Ralf

[Roland Franzius]

Post by Sebastian Altorfer
Hi liebe NG!
Ich habe ein kleines Problem.
Ich verstehe nicht genau, was es mit diesen Normalkoodrdinaten auf sich hat,
die man anscheinend braucht, um DGL zu enkoppeln. (Falls man es _nicht_ in
Matrixdarstellung rechnet)
Ich habe auch ein kleines Beispiel, zwei durch eine Feder gekoppelte
Federpendel mit einem Freiheitsgrad. Vereinfachungen: Alle Massen der
Schwinger sind identisch = m, alle Federkonstanten ebenfalls. x1 ist die
Auslenkung in positiver Richtung aus der Ruhelage von m1, analog dazu x2.
(1) x1'' = - ( f / m )*x1 - ( f / m )*( x1-x2 )
(2) x2'' = - ( f / m )*x2 + ( f /m )*( x2 - x1 )
Was sind nun die geeigneten Normalkoordinaten? Für was "stehen sie" ? Wie
kann ich das neue Koordinatensystem skizzieren/verstehen? Und vA. : Wie
helfen mir diese Normalkoordinaten beim enkoppeln? Weitergehenden
Zusammenänge zu den Eigenvektoren bitte zuerst einmal aussen vor lassen, ich
muss zuerst mal die Grundlagen verstehen ;-) .

Damit hätte ich auch ein Problem. Die Fundamentalmatrix deines Systems

x1''= - k(2 x1 - x2 )
x2''= -k x1

nach harmonischem Ansatz x=(a,b)e^(i omega t) ist nicht normal

-omega^2 (a,b) = - k ((2,-1),(-1,0)) (a,b)

also auch nicht diagonalisierbar. Ich nehme mal an, dir ist der doppelte
Vorzeichenwechsel im Relativabstand entgangen und damit hast du Newton 2
gekillt.