Discussion:
3-dim. Raum und stabile Planetenbahnen
(zu alt für eine Antwort)
Josef Puerstinger
2006-09-25 05:42:23 UTC
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Hallo,

H. Lesch sagte letzte Woche in Alpha Centauri, dass stabile
Planetenbahnen nur in einem 3-dim. Raum moeglich seien. Jetzt habe ich
das Problem, dass ich keinen Grund dafuer finde, weshalb in einem
hoeherdimensionalen Raum die Planetenbahnen instabil sein sollen.
Weiss jemand genaueres darueber?

Danke im voraus,
Puersti
Stefan Ram
2006-09-25 06:03:24 UTC
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Post by Josef Puerstinger
H. Lesch sagte letzte Woche in Alpha Centauri, dass stabile
Planetenbahnen nur in einem 3-dim. Raum moeglich seien. Jetzt habe ich
das Problem, dass ich keinen Grund dafuer finde, weshalb in einem
hoeherdimensionalen Raum die Planetenbahnen instabil sein sollen.
Auch ein Raum mit weniger als drei Dimensionen
ist ein nichtdreidimensionaler Raum.
Post by Josef Puerstinger
Weiss jemand genaueres darueber?
http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=746
Josef Puerstinger
2006-09-25 08:04:48 UTC
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Hallo Stefan,
Post by Stefan Ram
Post by Josef Puerstinger
H. Lesch sagte letzte Woche in Alpha Centauri, dass stabile
Planetenbahnen nur in einem 3-dim. Raum moeglich seien. Jetzt habe ich
das Problem, dass ich keinen Grund dafuer finde, weshalb in einem
hoeherdimensionalen Raum die Planetenbahnen instabil sein sollen.
Auch ein Raum mit weniger als drei Dimensionen
ist ein nichtdreidimensionaler Raum.
Wo Du recht hast, hast Du recht... (Es ging in der Sendung darum, ob das
Universum mehr als 3 Dimensionen haben koennte).
Post by Stefan Ram
Post by Josef Puerstinger
Weiss jemand genaueres darueber?
http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=746
Danke fuer den hilfreichen Link!

Puersti
Roland Franzius
2006-09-25 08:44:55 UTC
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Post by Josef Puerstinger
Hallo,
H. Lesch sagte letzte Woche in Alpha Centauri, dass stabile
Planetenbahnen nur in einem 3-dim. Raum moeglich seien. Jetzt habe ich
das Problem, dass ich keinen Grund dafuer finde, weshalb in einem
hoeherdimensionalen Raum die Planetenbahnen instabil sein sollen.
Weiss jemand genaueres darueber?
Ich galube zar nicht, dass Lesch die Schwarzschildlösung im R^n
anchgerechnet aht, aber auch ohne dass kann man klassisch einige
vorläufige Folgerungen ziehen.

Das Gravitatonsgesetz im R^n ist eine klassische Näherung bei schwacher
Raumkrümmung, die ein Potential aus der radialen Zeitskalierung auf
fester Position gegen ruhende Uhren im Unendlichen destillieren. Dieses
Potential genügt der Laplacegleichung für kugelsymmetrische Felder mit
rein radialer Abhängigkeit. Laplace im R^n , n>2 hat die Radialform

Lap= r^(n-1) d/dr r^(n-1) d/dr

und die im unendlichen verschwindenden anziehenden Lösungen haben die Form

Phi(r) ~ -r^(-n+2)

Für stabiles Gleichgewicht auf einer Planetenkreisbahn muss gelten, dass
die Energie, zusammengesetzt aus dem konstanten Drehimpuls L_z und der
Gravitationsenergie

H(r) = 1/2 L_z^2 /r^2 - k M/ r^(n-2)

ein Minimum besitzt.


H'(r) = -a/r^3 + (n-2) b/r^(n-1)

Im R^3 gibt es immer ein Minimum, im R^4 gibts je nach Parameterwahl nur
Abstoßung, Anziehung oder Unabhängigkeit der Energie von r und ab R^5
kannst du die Kurvendiskussion mal selbst versuchen.
--
Roland Franzius
Roland Franzius
2006-09-25 08:56:06 UTC
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Post by Josef Puerstinger
Hallo,
H. Lesch sagte letzte Woche in Alpha Centauri, dass stabile
Planetenbahnen nur in einem 3-dim. Raum moeglich seien. Jetzt habe ich
das Problem, dass ich keinen Grund dafuer finde, weshalb in einem
hoeherdimensionalen Raum die Planetenbahnen instabil sein sollen.
Weiss jemand genaueres darueber?
Eigentlich braucht man die Schwarzschildgeometrie im R^n.
Man kann man da klassisch einige vorläufige Folgerungen ziehen.

Das Gravitatonsgesetz im R^n ist eine klassische Näherung bei schwacher
Raumkrümmung, die ein Potential aus der radialen Zeitskalierung auf
fester Position gegen ruhende Uhren im Unendlichen destillieren.

dtau^2 = g_00(r) dt^2 ~ (1- 2 Phi(r)) dt^3

Das Potential Phi genügt der Laplacegleichung für kugelsymmetrische
Felder mit rein radialer Abhängigkeit. Laplace im euklidischen R^n , n>2
hat die Radialform

Lap= r^(n-1) d/dr r^(n-1) d/dr

und die im unendlichen verschwindenden anziehenden Lösungen haben die Form

Phi(r) ~ -r^(-n+2)

Für stabiles Gleichgewicht auf einer Planetenkreisbahn muss gelten, dass
das effektive Potential, zusammengesetzt aus der dem konstanten
Drehimpuls L_z und der Gravitationsenergie mit radialem Impuls p_r in
der Gesamtenergie

H(r) = 1/2 p_r^2 + 1/2 L_z^2 /r^2 - k M/ r^(n-2)

ein Minimum besitzt.


0=dH/dr = -a/r^3 + (n-2) b/r^(n-1)

Im R^3 gibt es immer ein Minimum, im R^4 gibts je nach Parameterwahl a,b
nur Abstoßung, Anziehung oder Unabhängigkeit der Energie von r und ab
R^5 kannst du die Kurvendiskussion mal selbst versuchen.
--
Roland Franzius
Josef Puerstinger
2006-09-25 10:35:28 UTC
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Hallo Roland,

Danke fuer Deine ausfuehrliche Antwort!

Eine ruhige Arbeitswoche,
Puersti
Andreas Erber
2006-09-25 12:27:58 UTC
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Im R^2 würde die Kraft reziprok zur Entfernung sein.
Wie sähen da Flugbahnen aus?
Kommt drauf an wie die Zentripetalkraft im Zweidimensionalen aussieht.

LG Andy
Ralf Muschall
2006-09-26 23:49:44 UTC
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Post by Andreas Erber
Im R^2 würde die Kraft reziprok zur Entfernung sein.
Nur wenn man annimmt, dass die newtonsche Näherung gilt.
Post by Andreas Erber
Wie sähen da Flugbahnen aus?
Kommt drauf an wie die Zentripetalkraft im Zweidimensionalen aussieht.
Da in 3 (d.h. 2+1) Dimensionen der Weyltensor verschwindet, ist
Gravitation dort eine rein topologische Angelegenheit. Ein
Massenpunkt macht sich nicht dadurch bemerkbar, dass in seinem Umfeld
der Raum gekrümmt wäre, sondern dadurch, dass man bei seiner
Umkreisung einen von 2π verschiedenen Winkel durchläuft.

Ralf
--
GS d->? s:++>+++ a+ C++++ UL+++ UH++ P++ L++ E+++ W- N++ o-- K-
w--- !O M- V- PS+>++ PE Y+>++ PGP+ !t !5 !X !R !tv b+++ DI+++
D? G+ e++++ h+ r? y?
Julian Hofmann
2006-09-25 12:34:42 UTC
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Ist diese Vorstellung
n-dimensionaler Raum =>
Kraft nimmt mit Potenz (n-1) mit der Entfernung ab
eigentlich wirklich die einzige Sinnvolle?
(So ein wenig aus dem Bauch gegriffen habe ich sie halt)
Wenn Du den Satz von Gauss und alles was damit zu tun hat (siehe
Maxwell-Glgs) retten willst, brauchst Du dieses Verhalten.
--
Julian Hofmann
GSI
Ingo Thies
2006-09-25 12:35:28 UTC
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Im R^2 würde die Kraft reziprok zur Entfernung sein.
Wie sähen da Flugbahnen aus?
Eigentlich müssten sie da auch stabil sein (aber keine schicken
Ellipsen, sondern irgendwelche rosettenartigen Kurven). Denn
entscheidend für eine stabile Bahn ist das Verhalten bei geringfügiger
Störung. Wenn ein Planet etwas "zu schnell" ist, treibt er weiter von
der Sonne weg und verliert dabei an Geschwindigkeit (kinetische Energie
wird in potentielle umgewandelt). Wenn die "Zentrifugalkraft" schneller
abnimmt als die Anziehungskraft, dann kehrt sich diese Drift vom Stern
weg um und der Planet nähert sich dem Stern wieder. So wie die Erde es
auf ihrer Ellipsenbahn macht. Nimmt das G-Feld zu steil ab, wird die
Anziehung immer schwächer als die benötigte Kraft zur Rückkehr des
Planeten und der Planet haut ab. Wenn der Radiusexponent kleiner als 2
wird, sollte es keine Probleme geben. Extremfall: Anziehungskraft bleibt
vom Betrag her konstant. Dann könnte der Planet überhaupt nicht
entkommen. Dummerweise wäre so ein Feld nur in einer freien Dimension
möglich, und da gibt es keine Umlaufbahnen.

Veranschaulichen kann man sich solche Potentiale näherungsweise durch
verschieden stark gekrümmte "Trichter" auf einer Oberfläche, auf der
Murmeln rollen. Ein G-Potentiel mit konstantem Betrag entspräche einem
Trichter im üblichen Sinne (Kegel). Ohne Reibung würde eine Kugel dort
ewig im Kreis rollen. Rollt sie mal etwas weiter raus, dann wird sie
langsamer, rollt zurück, wird dann wieder etwas zu schnell, rollt wieder
raus usw.

2D müsste, entgegen Leschs Aussagen (ich habe die Sendung auch gesehen)
also gehen, was die Stabilität der Bahn angeht, würde aber vermutlich an
anderen Problemen scheitern. Z.B. gäbe es auch bei 1/r keine
Fluchtmöglichkeit, da das Integral über 1/r nicht nach oben beschränkt
ist (gibt irgendwas mit log, und log ist nicht beschränkt). Damit wäre
aber jede noch so kleine Masse ein Schwarzes Loch...
Ist diese Vorstellung
n-dimensionaler Raum =>
Kraft nimmt mit Potenz (n-1) mit der Entfernung ab
eigentlich wirklich die einzige Sinnvolle?
Steckt da nicht irgendwo der Gaußsche Satz drin (geschlossenes
Flächenintegral um Punktquelle stets konstant)?

Potentialfelder nehmen immer den gesamten verfügbaren Raum ein.
Andernfalls wäre ein Perpetuum Mobile möglich(*), und das wäre für die
Natur der größte anzunehmende Horror ;-) Wenn sich das Feld aber im
ganzen verfügbaren Raum ausdehnt und der Gaußsche Satz gilt, dann muss
die Feldstärke proportional mit 1/(n-1) abnehmen. Halt mit dem Kehrwert
der Oberfläche einer Sphäre in diesem Raum.

Übrigens gilt diese Beziehung für alles, was von einer Punktquelle
ausgeht, auch Materieströmungen (z.B. Leute, die ein Gebäude in alle
Richtungen des umgebenden 2D-(Halb-)Raumes verlassen, Leuchtsterne einer
Feuerwerksbombe, Straßenverkehr rund um eine große Veranstaltung usw.).

(*) Man nehme z.B. ein G-Feld, dass sich über einem flachen G-Generator
entlang einer vertikalen Säule erstreckt und zur Seite hin abrupt
aufhört. Dann nehme man ein gewöhnliches Rad, halte es mit einer Seite
ins Feld, und schon dreht es sich und kann ggf. sogar einen Generator
antreiben. Und Energie gratis ist in der Natur bekanntlich bäh ;-)
--
Gruß,
Ingo
gert_kemm
2006-09-25 16:21:59 UTC
Permalink
Josef Puerstinger schrieb:

Guten Tag!
Post by Josef Puerstinger
H. Lesch sagte letzte Woche in Alpha Centauri, dass stabile
Planetenbahnen nur in einem 3-dim. Raum moeglich seien. Jetzt habe ich
das Problem, dass ich keinen Grund dafuer finde, weshalb in einem
hoeherdimensionalen Raum die Planetenbahnen instabil sein sollen.
Weiss jemand genaueres darueber?
Zuerst käme die Definition, was man unter dem Begriff
"höherdimensionaler Raum" versteht. Für diese Antwort soll gelten,
dass es sich um Räume handelt, deren Komponenten Strecken sind, wie
man es von Zahlenstrahl und kartesischem Koordinatensystem her kennt:
(5) € IR1 , (8;9) € IR2 , (3;9;1) € IR3, d.h. der Raum wird durch
die linear unabhängigen Vektoren der Basis aufgespannt. Zum
Verständnis ist zu bemerken, dass jede neue Dimension aus einer
"Aufstapelung" der vorhergehenden Dimension entsteht - dies wäre nur
eine hier erwähnte Erklärungsweise unter vielen anderen:
Die "Gerade" entsteht aus einer Aneinanderreihung von "Punkten".
Die "Fläche" aus einem Nebeneinanderlegen von "Geraden".
Der "3-dim. Raum" aus einer Übereinanderstapelung von "Flächen".
In einem "1-dim. Raum" gibt es keine Planetenbahn - allerdings könnte
aus der Fläche heraus die "Gerade" ein Element der Kreisbahn sein,
d.h. es entständen zwei Schnittpunkte mit der "Flächenkreisbahn".
In einem "2-dim. Raum" kann es Planetenbahnen geben - eine variierende
Kreisbahn im "3-dim. Raum" würde sich z.B. als eine elliptische
Anordnung von Schnittpunkten bei den verschiedenen Durchgängen durch
die Koordinatenebene ergeben.
Nach all den hier gemachten Vorüberlegungen käme man auf eine
Sichtweise von vielen, wie sich beispielsweise ein "4-dim. Raum"
aufbaut, von dem der eigene Raum, in welchem man sich befindet, ein
Unterraum wäre:
Die vierte Komponente des IR4 wäre dann die "über alle Grenzen"
gehende Entfernung, z.B. (3;1999;75;27*100!) € IR4. Um in diesen
"Räumlichkeiten" sinnvolle Bahnen rechnen zu können, müsste man
sicherlich eine "Physik der vielfachen Lichtgeschwindigkeit" betreiben,
wozu sicherlich nur wenige Physiker bereit wären.
MfG Gerhard Kemme
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