Alexander Streltsov
2004-11-25 19:00:54 UTC
Ich wollte eure Meinung zu dieser Aufgabe wissen:
"In einer Metallkugel mit Radius R wurde ein
kugelförmiger Hohlraum mit dem Radius r = R/2
hergestellt (siehe Abbildung). Ermitteln Sie einen
Ausdruck für die Kraft, mit der eine zweite Kugel
der Masse m aufgrund der Gravitationswechselwirkung
angezogen wird. (Der Abstand der
Kugelmittelpunkte sei d und Masse des ersten
Körpers M.)"
Ich habe zwei Ansätze zur Auswahl, es kommen jedoch verschiedene Lösungen
heraus.
Ansatz 1: Man rechnet die Gravitationskraft zwischen der gesamten großen
Kugel (also ohne Hohlraum). Vom Betrag dieser Kraft zieht man die Kraft ab,
die eine Metallkugel, die das gleiche Volumen wie der Hohlraum hat, auf m
ausüben würde. Dabei ergibt sich: F = G*M*m* (8/(7*d^2) - 1/(7*(d-r)^2)).
Ansatz 2: Man berechnet die Lage des Schwerpunkts, und dann die
Gravitationskraft, indem man als Abstand d + Abstand des Schwerpunkts vom
Mittelpunkt der Kugel.
Genauer: (x * R * M + 1/2 * R * 1/7 * M)/(8/7 * M) = 0;
Man legt dabei das Koordinatensystem in den Schwerpunkt der gesamten Kugel,
dann ist die Lage des Schwerpunktes des Körpers mit Hohlraum x * R, x ist
der Faktor um den R verlängert werden muss. Nach Multiplikation mit der
Masse M addiert man 1/2 * R * 1/7 * M dazu, weil der Schwerpunkt des
Hohlraums (falls er ausgefüllt wäre) 1/2 R vom Kugelmittelpunkt weg ist. 1/7
M deswegen, weil die kleine Kugel eben 1/7 * M wiegen würde. Nun teilt man
durch die Gesamtmasse, die die gesamte Kugel hätte (8/7 * M). Die Gleichung
muss Null ergeben, weil das Koordinatensystem so gewählt wurde. Für x ergibt
sich:
x = 1/14. Und damit für F
F = G * M * m / (d + R/14)^2.
Ich nehme an, dass der Ansatz 2 falsch ist, die Frage ist warum.
mfg
Alex
"In einer Metallkugel mit Radius R wurde ein
kugelförmiger Hohlraum mit dem Radius r = R/2
hergestellt (siehe Abbildung). Ermitteln Sie einen
Ausdruck für die Kraft, mit der eine zweite Kugel
der Masse m aufgrund der Gravitationswechselwirkung
angezogen wird. (Der Abstand der
Kugelmittelpunkte sei d und Masse des ersten
Körpers M.)"
Ich habe zwei Ansätze zur Auswahl, es kommen jedoch verschiedene Lösungen
heraus.
Ansatz 1: Man rechnet die Gravitationskraft zwischen der gesamten großen
Kugel (also ohne Hohlraum). Vom Betrag dieser Kraft zieht man die Kraft ab,
die eine Metallkugel, die das gleiche Volumen wie der Hohlraum hat, auf m
ausüben würde. Dabei ergibt sich: F = G*M*m* (8/(7*d^2) - 1/(7*(d-r)^2)).
Ansatz 2: Man berechnet die Lage des Schwerpunkts, und dann die
Gravitationskraft, indem man als Abstand d + Abstand des Schwerpunkts vom
Mittelpunkt der Kugel.
Genauer: (x * R * M + 1/2 * R * 1/7 * M)/(8/7 * M) = 0;
Man legt dabei das Koordinatensystem in den Schwerpunkt der gesamten Kugel,
dann ist die Lage des Schwerpunktes des Körpers mit Hohlraum x * R, x ist
der Faktor um den R verlängert werden muss. Nach Multiplikation mit der
Masse M addiert man 1/2 * R * 1/7 * M dazu, weil der Schwerpunkt des
Hohlraums (falls er ausgefüllt wäre) 1/2 R vom Kugelmittelpunkt weg ist. 1/7
M deswegen, weil die kleine Kugel eben 1/7 * M wiegen würde. Nun teilt man
durch die Gesamtmasse, die die gesamte Kugel hätte (8/7 * M). Die Gleichung
muss Null ergeben, weil das Koordinatensystem so gewählt wurde. Für x ergibt
sich:
x = 1/14. Und damit für F
F = G * M * m / (d + R/14)^2.
Ich nehme an, dass der Ansatz 2 falsch ist, die Frage ist warum.
mfg
Alex